최영욱의 신나는 수학여행 - 수학자들이 무서워하는 패러독스?
패러독스…다른 말로는 역설…사전적 뜻은 ‘일반적으로는 모순을 야기하지 아니하나 특정한 경우에 논리적 모순을 일으키는 논증’~!! 옛날부터 수학을 하는 사람들은 이 패러독스를 가장 재미있어하면서도 가장 무서워(?)했다. 왜냐고? 모두들 알다시피 논리학을 포함한 모든 수학은 답이 있어야 한다. 그런데 이 놈(?)은 아무리 생각해도 도저히 정답을 찾을 수가 없었기 때문이다. 하지만 이런 패러독스 덕분에 수학은 그 논리구조가 좀 더 튼튼해진 면도 있다. 아무튼 이번엔 아래의 대표적인 패러독스에 관한 에피소드를 통해 여러분이 직접 생각을 하며 이 패러독스라는 것을 느끼는 기회를 가져 보기로 한다. (단 생각하다가 여러분의 머리가 터질지도 모른다…^^)
1. 이발사 패러독스
어느 시골 마을에 한 이발사가 있어서, ‘스스로 머리를 깎을 수 없는 모든 사람들의 머리만 깎아준다’라는 원칙을 세웠다면 어떤 상황이 벌어질까. 여기에는 이런 모순점이 생긴다. 즉 이발사가 자신의 머리를 깎지 않는다면, 그 이발사는 자신이 머리를 깎아 주어야 할 마을 사람들에 속하게 되므로 이발사는 자신의 머리를 깎아주어야 한다. 그런데 이발사가 자신의 머리를 깎는다면 이번엔 자신이 스스로 머리를 깎을 수 있는 사람이 되므로 자신이 세운 원칙에 의해 그 이발사는 자신의 머리를 깎으면 안 된다. 따라서 이발사는 자신의 머리를 깎을 수도, 깎지 않을 수도 없는 애매한 상황에 놓이게 된다. 즉 원칙을 함부로 세우면 자기 모순에 빠지기 쉽다는 교훈을 얻을 수 있는 얘기~!!
2. 거짓말쟁이 패러독스
“내가 지금 하고 있는 말은 거짓말이다”라고 한 사람이 말했다고 하자. 그렇다면 과연 그의 말은 참일까, 거짓일까? 해답은 이렇다~! 만약 그의 말이 ‘참’이라고 한다면, 그가 하고 있는 말이 ‘거짓’이라고 스스로 말한 것에 어긋난다. 하지만 그가 한 말이 ‘거짓’이라고 한다면 이번엔 그가 한 말 자체가 ‘참’이 된다. 즉 어떻게 생각해 봐도 그의 말은 ‘참’도 ‘거짓’도 될 수가 없는 것이다. 즉 우리가 일반적으로 쓰는 평범한 말도 수학이 개입돼 버리면 가끔은 이렇듯 그 해석이 ‘개판(?)’이 돼 버릴 수도 있다. ^^;
3. 이번엔 이런 패러독스를 바탕으로 한 퀴즈다. 모두들 머리를 굴려서 정답을 맞혀보자!
두 마을과 연결된 두 갈래의 길이 있는데, 한 마을에는 참말만 하는 사람들이 살고, 다른 마을엔 거짓만 말하는 사람들이 살고 있다고 한다. 어느 날 정은이가 참말만 하는 마을을 찾아가다 이 갈림길에서 그만 어디로 가야 하는지를 잊어버렸고, 부득이하게 그곳에서 만난 한 사람에게 길을 묻게 되었다. 문제는, 이 사람이 두 마을 중 한 마을에 살기는 하는데, 대체 어느 마을에 사는 사람인지를 모르기 때문에 질문이 애매하면 엉뚱한 곳으로 가버리게 된다는 사실이다. 이때 정은이가 이 사람에게 하나의 질문을 해 애초의 목적지인 참마을로 옳게 갈 수 있는 방법은 무엇일까? 정답은 “당신이 사는 마을은 두 갈래의 길 중 어느 쪽입니까?”이다. 이렇게 되면 어느 마을에 사는 사람이든 반드시 참마을을 가리키게 된다. 헷갈린다고? 스스로 생각해보라~! 이 또한 수학이다~!! ^^
최영욱
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다.
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - turn a blind eye to… 못본채 좀 하자구요!
영어 표현 중에는 신체 일부를 활용한 재미난 표현들이 많다. 이번 칼럼에선 눈(eye)을 활용한 표현들을 한번 알아보자.
영어에 “turn a blind eye to”라는 표현이 있다. 직역하면 “보이지 않는 눈을 ~쪽으로 돌리다”인데, 이미 멀어 있는 눈을 어느 쪽으로 돌린들 무슨 소용일까? 이 표현은 “~을 보고도 못 본 체하다”라는 의미로 사용되는데, 이런 표현이 사용되게 된 데에는 유명한 일화가 있다.
영국에도 우리나라의 이순신 장군만큼 유명한 장군이 있는데, 바로 트라팔가 해협에서 프랑스-에스파냐 연합 함대를 격멸시키고, 완승 직전 적의 총탄에 전사한 호레이쇼 넬슨(Horatio Nelson) 제독이다. 넬슨은 한 해전에서 후퇴하라는 명령에 고의로 불복한 적이 있었다. 1801년 코펜하겐의 해군 전투에서 넬슨은 영국 함대를 이끌고 덴마크-노르웨이 연합군과 싸우고 있었다. 당시 영국 함대는 파커(Sir Hyde Parker) 제독에 의해 지휘되었는데, 넬슨과 파커는 전술에 대해 종종 합의를 보지 못했었다. 하루는 파커가 넬슨에게 깃발을 통해 후퇴하라는 명령을 내렸다. 넬슨은 만약 계속 싸운다면 이길 수 있을 거라고 확신했었고, 그 순간 그는 깃발을 향해 “보이지 않는 눈을 돌렸다(turned a blind eye to the flat).” 기록에 따르면 당시 넬슨은 애꾸였는데, 보이지 않는 눈에다가 망원경을 가져다 대며 “신호가 보이지 않는군”이라고 말한 뒤 전투를 계속했다고 한다. 이 표현에서 파생된, “turn a deaf ear to”란 표현도 있다. 짐작했겠지만, “~를 듣고도 못 들은 척하다”란 의미다.
“The apple of one’s eye”란 표현도 있다. 우리말로 하자면 “눈에 넣어도 아프지 않을 존재” 정도가 딱 비슷한 표현이다. 본래 the apple of my eye는 눈 가운데에 있는 구멍, 즉 동공(pupil)을 의미하지만, 비유적으로 사용돼 매우 소중한 어떤 물건 혹은 어떤 사람을 의미한다. 셰익스피어는 1600년 A Midsummer Night’s Dream에서 이 구절을 다음과 같이 사용한 적이 있었다.
“Flower of this purple dye,
Hit with Cupid’s archery,
Sink in apple of his eye.”
(큐피트의 화살을 맞은 자주색의 꽃이여, 그의 눈동자에 빠지거라.)
이 표현은 성경에서도 자주 보이는데, King James Version의 영어성경 신명기(Deuteronomy) 32장 10절에 다음과 같은 구절이 있다.
“He found him in a desert land, and in the waste howling wilderness; he led him about, he instructed him, he kept him as the apple of his eye.”
(여호와께서 그를 황무지에서, 짐승의 부르짖는 광야에서 만나시고 호위하시며 보호하시며 자기 눈동자같이 지키셨도다.)
박희성
‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
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패러독스…다른 말로는 역설…사전적 뜻은 ‘일반적으로는 모순을 야기하지 아니하나 특정한 경우에 논리적 모순을 일으키는 논증’~!! 옛날부터 수학을 하는 사람들은 이 패러독스를 가장 재미있어하면서도 가장 무서워(?)했다. 왜냐고? 모두들 알다시피 논리학을 포함한 모든 수학은 답이 있어야 한다. 그런데 이 놈(?)은 아무리 생각해도 도저히 정답을 찾을 수가 없었기 때문이다. 하지만 이런 패러독스 덕분에 수학은 그 논리구조가 좀 더 튼튼해진 면도 있다. 아무튼 이번엔 아래의 대표적인 패러독스에 관한 에피소드를 통해 여러분이 직접 생각을 하며 이 패러독스라는 것을 느끼는 기회를 가져 보기로 한다. (단 생각하다가 여러분의 머리가 터질지도 모른다…^^)
1. 이발사 패러독스
어느 시골 마을에 한 이발사가 있어서, ‘스스로 머리를 깎을 수 없는 모든 사람들의 머리만 깎아준다’라는 원칙을 세웠다면 어떤 상황이 벌어질까. 여기에는 이런 모순점이 생긴다. 즉 이발사가 자신의 머리를 깎지 않는다면, 그 이발사는 자신이 머리를 깎아 주어야 할 마을 사람들에 속하게 되므로 이발사는 자신의 머리를 깎아주어야 한다. 그런데 이발사가 자신의 머리를 깎는다면 이번엔 자신이 스스로 머리를 깎을 수 있는 사람이 되므로 자신이 세운 원칙에 의해 그 이발사는 자신의 머리를 깎으면 안 된다. 따라서 이발사는 자신의 머리를 깎을 수도, 깎지 않을 수도 없는 애매한 상황에 놓이게 된다. 즉 원칙을 함부로 세우면 자기 모순에 빠지기 쉽다는 교훈을 얻을 수 있는 얘기~!!
2. 거짓말쟁이 패러독스
“내가 지금 하고 있는 말은 거짓말이다”라고 한 사람이 말했다고 하자. 그렇다면 과연 그의 말은 참일까, 거짓일까? 해답은 이렇다~! 만약 그의 말이 ‘참’이라고 한다면, 그가 하고 있는 말이 ‘거짓’이라고 스스로 말한 것에 어긋난다. 하지만 그가 한 말이 ‘거짓’이라고 한다면 이번엔 그가 한 말 자체가 ‘참’이 된다. 즉 어떻게 생각해 봐도 그의 말은 ‘참’도 ‘거짓’도 될 수가 없는 것이다. 즉 우리가 일반적으로 쓰는 평범한 말도 수학이 개입돼 버리면 가끔은 이렇듯 그 해석이 ‘개판(?)’이 돼 버릴 수도 있다. ^^;
3. 이번엔 이런 패러독스를 바탕으로 한 퀴즈다. 모두들 머리를 굴려서 정답을 맞혀보자!
두 마을과 연결된 두 갈래의 길이 있는데, 한 마을에는 참말만 하는 사람들이 살고, 다른 마을엔 거짓만 말하는 사람들이 살고 있다고 한다. 어느 날 정은이가 참말만 하는 마을을 찾아가다 이 갈림길에서 그만 어디로 가야 하는지를 잊어버렸고, 부득이하게 그곳에서 만난 한 사람에게 길을 묻게 되었다. 문제는, 이 사람이 두 마을 중 한 마을에 살기는 하는데, 대체 어느 마을에 사는 사람인지를 모르기 때문에 질문이 애매하면 엉뚱한 곳으로 가버리게 된다는 사실이다. 이때 정은이가 이 사람에게 하나의 질문을 해 애초의 목적지인 참마을로 옳게 갈 수 있는 방법은 무엇일까? 정답은 “당신이 사는 마을은 두 갈래의 길 중 어느 쪽입니까?”이다. 이렇게 되면 어느 마을에 사는 사람이든 반드시 참마을을 가리키게 된다. 헷갈린다고? 스스로 생각해보라~! 이 또한 수학이다~!! ^^
최영욱‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다.
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - turn a blind eye to… 못본채 좀 하자구요!
영어 표현 중에는 신체 일부를 활용한 재미난 표현들이 많다. 이번 칼럼에선 눈(eye)을 활용한 표현들을 한번 알아보자.
영어에 “turn a blind eye to”라는 표현이 있다. 직역하면 “보이지 않는 눈을 ~쪽으로 돌리다”인데, 이미 멀어 있는 눈을 어느 쪽으로 돌린들 무슨 소용일까? 이 표현은 “~을 보고도 못 본 체하다”라는 의미로 사용되는데, 이런 표현이 사용되게 된 데에는 유명한 일화가 있다.
영국에도 우리나라의 이순신 장군만큼 유명한 장군이 있는데, 바로 트라팔가 해협에서 프랑스-에스파냐 연합 함대를 격멸시키고, 완승 직전 적의 총탄에 전사한 호레이쇼 넬슨(Horatio Nelson) 제독이다. 넬슨은 한 해전에서 후퇴하라는 명령에 고의로 불복한 적이 있었다. 1801년 코펜하겐의 해군 전투에서 넬슨은 영국 함대를 이끌고 덴마크-노르웨이 연합군과 싸우고 있었다. 당시 영국 함대는 파커(Sir Hyde Parker) 제독에 의해 지휘되었는데, 넬슨과 파커는 전술에 대해 종종 합의를 보지 못했었다. 하루는 파커가 넬슨에게 깃발을 통해 후퇴하라는 명령을 내렸다. 넬슨은 만약 계속 싸운다면 이길 수 있을 거라고 확신했었고, 그 순간 그는 깃발을 향해 “보이지 않는 눈을 돌렸다(turned a blind eye to the flat).” 기록에 따르면 당시 넬슨은 애꾸였는데, 보이지 않는 눈에다가 망원경을 가져다 대며 “신호가 보이지 않는군”이라고 말한 뒤 전투를 계속했다고 한다. 이 표현에서 파생된, “turn a deaf ear to”란 표현도 있다. 짐작했겠지만, “~를 듣고도 못 들은 척하다”란 의미다.
“The apple of one’s eye”란 표현도 있다. 우리말로 하자면 “눈에 넣어도 아프지 않을 존재” 정도가 딱 비슷한 표현이다. 본래 the apple of my eye는 눈 가운데에 있는 구멍, 즉 동공(pupil)을 의미하지만, 비유적으로 사용돼 매우 소중한 어떤 물건 혹은 어떤 사람을 의미한다. 셰익스피어는 1600년 A Midsummer Night’s Dream에서 이 구절을 다음과 같이 사용한 적이 있었다.
“Flower of this purple dye, Hit with Cupid’s archery,
Sink in apple of his eye.”
(큐피트의 화살을 맞은 자주색의 꽃이여, 그의 눈동자에 빠지거라.)
이 표현은 성경에서도 자주 보이는데, King James Version의 영어성경 신명기(Deuteronomy) 32장 10절에 다음과 같은 구절이 있다.
“He found him in a desert land, and in the waste howling wilderness; he led him about, he instructed him, he kept him as the apple of his eye.”
(여호와께서 그를 황무지에서, 짐승의 부르짖는 광야에서 만나시고 호위하시며 보호하시며 자기 눈동자같이 지키셨도다.)
박희성‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
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