수학, 체하지 않게 꼭꼭 씹어 먹기!
우리 부모님들은 식사하기 전 “체하지 않게 꼭꼭 씹어 먹어라!”라는 말씀을 종종 하신다. 물론 음식물을 꼭꼭 씹어 넘겨야 소화가 잘된다는 것은 너무 당연한 사실이다. 과연 이 말이 수학적으로는 어떤 의미가 있을까?
위의 소화액과 음식물의 닿는 부분이 넓어지면 소화가 잘된다는 사실을 이용해 알아보자. 밥 알과 반찬들은 여러 가지 모양을 지니고 있지만 밥 알과 음식물 알갱이를 둥근 공 모양처럼 생긴 구라고 생각하자. 밥 알과 음식물 알갱이를 공 모양이라고 생각하였으므로 반지름이 γ인 밥 알과 음식물 알갱이의 각 각의 부피는 4/3πγ³이다. 구의 반지름을 ½ 줄이면 부피는 ⅛이 되므로 하나의 구를 반지름이 원래의 절반인 8개의 구로 나누어도 부피는 변함이 없다.
한편 반지름이 R인 구의 겉넓이는 4πR²이므로 반지름이 R/2 인 구의 겉넓이는 πR²이 된다. 따라서 8개로 나눈 작은 구들의 겉넓이를 합하면 8πR²이 된다. 그러므로 음식물을 꼭꼭 씹어 작은 알갱이로 분해하여 위로 보낼수록 음식물 알갱이의 겉넓이, 즉 음식물과 소화액의 닿는 부분이 넓어져 소화가 잘된다고 설명할 수 있다.
도형의 길이와 넓이, 부피의 비를 이용하여 우리 주변의 생활 속에서 수학적으로 설명할 수 있는 것들을 찾아보자. 세수비누나 두루마리 화장지를 사용할 때 처음에는 천천히 줄어들지만 어느 순간부터 갑자기 확 줄어든다는 느낌을 갖게 된다. 이를 수학적으로 알아보자.
세수비누를 직육면체라고 생각하자. 직육면체의 가로, 세로, 높이가 ½씩 줄면 세수 비누의 부피는 ⅛이 된다. 또 두루마리 휴지의 반지름이 ½로 줄면 휴지의 길이를 결정하는 원의 넓이는 ¼이 되어 사용하다보면 닳는 속도가 갑자기 빨라진다고 느끼는 것이다. 수학에서 즐거움이나 창의성을 발휘하도록 하는 것은 쉬운 일은 아니다. 그러나 우리 일상생활에서 일어나는 일을 중심으로 한 번쯤 “왜 그럴까?”라는 생각하는 습관을 들이면 자기도 모르는 사이에 수학의 즐거움을 느끼면서 다른 아이들과는 다르게 생각하는 방법을 찾게 될 것이다.
구는 쪼개어 평면에 나타낼 수 없기 때문에 전개도를 그려 겉넓이를 구할 수 없다. 따라서 직관적으로 구의 겉넓이를 구하는 방법을 알아보자.
테니스 공을 반으로 자르고 그 표면에 운동화 끈으로 촘촘히 감은 후 사용한 끈의 길이를 2배로 하여 [그림 1]과 같이 평면 위에 원을 만들면 원의 반지름의 길이는 테니스공의 반지름 길이의 거의 2배가 됨을 알 수 있다. 즉 반지름의 길이가 γ인 구의 겉넓이 S는 S=π×(2γ)²=4πR²이 됨을 알 수 있다.
이승민
<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
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참 괴상한 문장…하지만 문법적으론 하자가 없으니…
“Buffalo buffalo Buffalo buffalo buffalo buffalo Buffalo buffalo.” 이 문장은 놀랍게도 문법적으로 아무 하자가 없는 완벽한 영어 문장으로, 동음이의어를 기가막히게 활용한 문장이다. 이 문장은 ‘버팔로’대(University at Buffalo)에서 부교수로 재직 중인 William J Rapaport에 의해 처음 사용되었다. 이 문장은 겉보기엔 엉터리처럼 보이지만 실제로는 문법적으로 완전한 문장이고, 의미도 성립하는 문장이다.
먼저 buffalo는 우리말로 ‘버팔로’라고 부르기도 하는, 물소의 한 종류를 의미하는 명사이지만 동시에 ‘bully(괴롭히다)’라는 의미를 갖는 동사이기도 하다. 그렇다면 우선 간단한 ‘주어+동사+목적어’의 구조로 “Buffalo buffalo buffalo(물소들이 물소들을 괴롭힌다)”와 같은 문장을 만들 수 있다.
본래 이 문장은 William J Rapaport 교수가 대학원생이던 시절 친구들과 함께 고안해낸 것이다. 당시 언어 철학을 가르치시던 한 교수가 ‘Dogs dog dogs’와 같은 괴상한 형태의 문장을 예로 들어 주셨다. 영어에서 명사 dog는 동물 ‘개’를 의미하고, 동사 dog는 ‘(개처럼 쫓아다니면서) 괴롭히다’라는 의미가 있다. 즉 ‘Dogs dog dogs’라고 하면 ‘개들이 개들을 괴롭힌다’라는 의미가 된다. 그런데 영문법에서 주어가 단수일 땐 동사에 -s를 붙이고, 주어가 복수일 땐 동사에 -s를 붙이지 않으므로, 중간에 있는 동사 dog에는 s를 붙일 수가 없다. 그래서 다른 대안을 찾기 시작했다. 영어에서 buffalo, bison, cattle 이런 명사들은 문법적으로는 ‘군집명사’라고 불리는 명사로, 복수명사이지만 뒤에 -s가 붙지 않는 명사들이다. 그래서 이를 이용해 “Buffalo buffalo buffalo(물소들이 물소들을 괴롭힌다)”라는 문장을 고안해 냈다.
한편 첫 글자를 대문자로 쓴 Buffalo는 고유명사로, 미국 뉴욕주(New York State)에 있는 Buffalo라고 하는 도시를 지칭한다. 그렇다면 ‘Buffalo buffalo’라고 하면 마치 우리말의 ‘서울쥐와 시골쥐’같은 표현처럼 ‘버팔로 물소’, 즉 ‘버팔로라는 도시에 사는 물소’라는 의미가 된다. 따라서 다음과 같은 문장을 만들 수 있다. “Buffalo buffalo buffalo(←동사) Buffalo buffalo(버팔로 도시에 사는 물소들이 버팔로 도시에 사는 (다른) 물소들을 괴롭힌다).”
이 문장을 더 길게 하기 위해 주어 뒤에 하나의 수식어를 붙일 수 있다. 명사 뒤에 ‘(that) <주어>+<동사>’ 구조를 붙이면 ‘<주어>가 <동사>한~’이란 의미의 수식어가 된다. 주어 Buffalo buffalo 뒤에 ‘(that) Buffalo buffalo<주어> buffalo<동사>’라는 수식어를 붙여서 문장을 완성시키면 다음과 같다. “Buffalo buffalo <(that) Buffalo buffalo buffalo> buffalo(←동사) Buffalo buffalo(버팔로 지역의 물소들이 버팔로 지역의 물소들을 괴롭히는데, 그 괴롭힘을 당하는 버팔로 물소들이 버팔로 지역의 또 다른 물소들을 괴롭힌다).”
박희성
‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
우리 부모님들은 식사하기 전 “체하지 않게 꼭꼭 씹어 먹어라!”라는 말씀을 종종 하신다. 물론 음식물을 꼭꼭 씹어 넘겨야 소화가 잘된다는 것은 너무 당연한 사실이다. 과연 이 말이 수학적으로는 어떤 의미가 있을까?
위의 소화액과 음식물의 닿는 부분이 넓어지면 소화가 잘된다는 사실을 이용해 알아보자. 밥 알과 반찬들은 여러 가지 모양을 지니고 있지만 밥 알과 음식물 알갱이를 둥근 공 모양처럼 생긴 구라고 생각하자. 밥 알과 음식물 알갱이를 공 모양이라고 생각하였으므로 반지름이 γ인 밥 알과 음식물 알갱이의 각 각의 부피는 4/3πγ³이다. 구의 반지름을 ½ 줄이면 부피는 ⅛이 되므로 하나의 구를 반지름이 원래의 절반인 8개의 구로 나누어도 부피는 변함이 없다.
한편 반지름이 R인 구의 겉넓이는 4πR²이므로 반지름이 R/2 인 구의 겉넓이는 πR²이 된다. 따라서 8개로 나눈 작은 구들의 겉넓이를 합하면 8πR²이 된다. 그러므로 음식물을 꼭꼭 씹어 작은 알갱이로 분해하여 위로 보낼수록 음식물 알갱이의 겉넓이, 즉 음식물과 소화액의 닿는 부분이 넓어져 소화가 잘된다고 설명할 수 있다.
도형의 길이와 넓이, 부피의 비를 이용하여 우리 주변의 생활 속에서 수학적으로 설명할 수 있는 것들을 찾아보자. 세수비누나 두루마리 화장지를 사용할 때 처음에는 천천히 줄어들지만 어느 순간부터 갑자기 확 줄어든다는 느낌을 갖게 된다. 이를 수학적으로 알아보자.
세수비누를 직육면체라고 생각하자. 직육면체의 가로, 세로, 높이가 ½씩 줄면 세수 비누의 부피는 ⅛이 된다. 또 두루마리 휴지의 반지름이 ½로 줄면 휴지의 길이를 결정하는 원의 넓이는 ¼이 되어 사용하다보면 닳는 속도가 갑자기 빨라진다고 느끼는 것이다. 수학에서 즐거움이나 창의성을 발휘하도록 하는 것은 쉬운 일은 아니다. 그러나 우리 일상생활에서 일어나는 일을 중심으로 한 번쯤 “왜 그럴까?”라는 생각하는 습관을 들이면 자기도 모르는 사이에 수학의 즐거움을 느끼면서 다른 아이들과는 다르게 생각하는 방법을 찾게 될 것이다.구는 쪼개어 평면에 나타낼 수 없기 때문에 전개도를 그려 겉넓이를 구할 수 없다. 따라서 직관적으로 구의 겉넓이를 구하는 방법을 알아보자.
테니스 공을 반으로 자르고 그 표면에 운동화 끈으로 촘촘히 감은 후 사용한 끈의 길이를 2배로 하여 [그림 1]과 같이 평면 위에 원을 만들면 원의 반지름의 길이는 테니스공의 반지름 길이의 거의 2배가 됨을 알 수 있다. 즉 반지름의 길이가 γ인 구의 겉넓이 S는 S=π×(2γ)²=4πR²이 됨을 알 수 있다.
이승민<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
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참 괴상한 문장…하지만 문법적으론 하자가 없으니…
“Buffalo buffalo Buffalo buffalo buffalo buffalo Buffalo buffalo.” 이 문장은 놀랍게도 문법적으로 아무 하자가 없는 완벽한 영어 문장으로, 동음이의어를 기가막히게 활용한 문장이다. 이 문장은 ‘버팔로’대(University at Buffalo)에서 부교수로 재직 중인 William J Rapaport에 의해 처음 사용되었다. 이 문장은 겉보기엔 엉터리처럼 보이지만 실제로는 문법적으로 완전한 문장이고, 의미도 성립하는 문장이다. 먼저 buffalo는 우리말로 ‘버팔로’라고 부르기도 하는, 물소의 한 종류를 의미하는 명사이지만 동시에 ‘bully(괴롭히다)’라는 의미를 갖는 동사이기도 하다. 그렇다면 우선 간단한 ‘주어+동사+목적어’의 구조로 “Buffalo buffalo buffalo(물소들이 물소들을 괴롭힌다)”와 같은 문장을 만들 수 있다.
본래 이 문장은 William J Rapaport 교수가 대학원생이던 시절 친구들과 함께 고안해낸 것이다. 당시 언어 철학을 가르치시던 한 교수가 ‘Dogs dog dogs’와 같은 괴상한 형태의 문장을 예로 들어 주셨다. 영어에서 명사 dog는 동물 ‘개’를 의미하고, 동사 dog는 ‘(개처럼 쫓아다니면서) 괴롭히다’라는 의미가 있다. 즉 ‘Dogs dog dogs’라고 하면 ‘개들이 개들을 괴롭힌다’라는 의미가 된다. 그런데 영문법에서 주어가 단수일 땐 동사에 -s를 붙이고, 주어가 복수일 땐 동사에 -s를 붙이지 않으므로, 중간에 있는 동사 dog에는 s를 붙일 수가 없다. 그래서 다른 대안을 찾기 시작했다. 영어에서 buffalo, bison, cattle 이런 명사들은 문법적으로는 ‘군집명사’라고 불리는 명사로, 복수명사이지만 뒤에 -s가 붙지 않는 명사들이다. 그래서 이를 이용해 “Buffalo buffalo buffalo(물소들이 물소들을 괴롭힌다)”라는 문장을 고안해 냈다.
한편 첫 글자를 대문자로 쓴 Buffalo는 고유명사로, 미국 뉴욕주(New York State)에 있는 Buffalo라고 하는 도시를 지칭한다. 그렇다면 ‘Buffalo buffalo’라고 하면 마치 우리말의 ‘서울쥐와 시골쥐’같은 표현처럼 ‘버팔로 물소’, 즉 ‘버팔로라는 도시에 사는 물소’라는 의미가 된다. 따라서 다음과 같은 문장을 만들 수 있다. “Buffalo buffalo buffalo(←동사) Buffalo buffalo(버팔로 도시에 사는 물소들이 버팔로 도시에 사는 (다른) 물소들을 괴롭힌다).”
이 문장을 더 길게 하기 위해 주어 뒤에 하나의 수식어를 붙일 수 있다. 명사 뒤에 ‘(that) <주어>+<동사>’ 구조를 붙이면 ‘<주어>가 <동사>한~’이란 의미의 수식어가 된다. 주어 Buffalo buffalo 뒤에 ‘(that) Buffalo buffalo<주어> buffalo<동사>’라는 수식어를 붙여서 문장을 완성시키면 다음과 같다. “Buffalo buffalo <(that) Buffalo buffalo buffalo> buffalo(←동사) Buffalo buffalo(버팔로 지역의 물소들이 버팔로 지역의 물소들을 괴롭히는데, 그 괴롭힘을 당하는 버팔로 물소들이 버팔로 지역의 또 다른 물소들을 괴롭힌다).”
박희성‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
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