이승민의 재미난 수학세계 - 피타고라스학파 "만물은 수!"
BC 6세기 전반에 크로토네에서 피타고라스가 창설한 고대 그리스 철학의 한 학파로 수학, 천문학, 음악을 연구하여 업적을 남긴 단체이면서 동시에 사람들의 정신 세계의 정화와 영혼의 구제를 목적으로 하는 종교단체이기도 하였다. 또 정치적인 성격도 가지고 있어서, BC 5세기에는 이탈리아 남부의 크로토네를 지배하기도 하여 한때는 강대한 세력을 가지고 있었다.
그러나 피타고라스 본인은 태어난 날과 죽은 날이 정확히 알려지지 않았을 뿐만 아니라 책 한 권 남기지 않았다. 오로지 아는 거라고는 피타고라스가 기원전 569년께 사모스 섬에서 태어났고 기원전 500년께 이탈리아 남단의 크로톤(지금의 크로토나)이라는 곳에서 생을 마감했다는 정도이다.
피타고라스는 자기의 후계자를 Pythagoreioi라고 부르고 그를 따르는 사람들을 Pythagoristai라고 불렀다. 그러나 피타고라스의 죽음 이후 제자들은 수학이나 음악 등의 학문을 지망하는 학문생과 교단의 윤리적, 종교적 전통을 계승하는 수업생으로 갈라졌고, BC 5세기 후반에 피타고라스 학파의 중심은 붕괴되었지만 플라톤을 비롯한 여러 사람에게 끼친 학문적인 영향은 컸다.
제자인 히파수스는 정사각형의 대각선의 길이를 표현할 수 있는 어떤 유리수도 존재하지 않음을 증명하였다. 피타고라스 학파의 이단이었던 그는 바다에서 난파를 당해 죽었다고도 하고 피타고라스 학파에 의해 암살되었다고도 한다. 히파수스의 증명이 있기 전까지 모든 피타고라스 학파 사람들은 정수와 정수의 비로 모든 기하학적인 대상을 표현할 수 있다고 믿고 있었다. 비록 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 나타낼 수 있는 분수를 아무도 찾지는 못하였어도 그들이 아직 찾지 못한 어떤 정수의 비가 존재할 것이라는 믿음이 있었다. 피타고라스 학파는 다른 수의 존재의 필요성을 받아들이려 하지 않았고, 따라서 히파수스의 증명으로 그들은 혼란에 빠져 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 √ 가 아닌 다른 방법으로 나타내려 하였다.
또한 피타고라스는 자연수의 성질 중 간단하거나 아름다운 수라고 생각되는 수에 홀수, 짝수, 소수, 서로 소인 수, 과잉수, 완전수, 부족수 등과 같이 이름을 붙였다. 여기에서 완전수는 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신과 같은 수이고, 과잉수는 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 큰 수이며, 부족수는 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 작은 수이다. 10과 18로 예를 들면, 10의 약수는 1, 2, 5, 10이고 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18로서 자기 자신을 제외한 18의 약수의 합은 1+2+3+6+9=21로 18<1+2+3+6+9이고, 자기 자신을 제외한 10의 약수의 합은 1+2+5=8로 10>1+2+5이므로 18은 과잉수이고 10은 부족수이다.
수학적인 우주론을 구상하고 ‘만물은 수에서 이루어진다’고 주장한 피타고라스 학파 사람들은 존재하는 수는 어떤 형태를 가져야만 한다고 생각했기 때문에 항상 수를 도형과 관련시켜서 생각했다. 그들은 점을 나타내는 모나드(monad)를 생각했으며, 모나드의 배열에 의해서 나타낼 수 있는 수에 많은 관심을 가지고 있었다. 그들은 [그림 1]과 같이 모나드를 정삼각형의 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수를 삼각수라 하고, [그림 2]와 같이 정사각형의 모양으로 나타낼 수 있는 수를 사각수라 하였다.
n번째 삼각수 Tn은 Tn = 1+2+3+…+ n = n(n+1)/2 이고, n번째 사각수 Sn은 Sn = n²= n(n+1)/2 + n(n-1)/2 = Tn + Tn-1 과 같이 나타낼 수 있다. 피타고라스 학파의 삼각수, 사각수, 오각수 등 형상수의 연구는 가치가 있는 것은 아니지만 뒤에 정수론 연구에 큰 영향을 주었다.
이승민
<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
박희성의 맛깔난 잉글리시 - 성경에 뿌리 둔 황금률 영어 표현들
서양의 역사는 종교의 역사와 불가분의 관계에 있다. 따라서 영어라는 언어의 역사도 성경과 밀접하게 관련되어 있으며, 현대 영어의 표현 중에는 성경에서 유래한 표현들이 대단히 많다. 가령 종교, 도덕, 철학 원칙 중 하나인 ‘황금률(Golden Rule)’은 예수님께서 산상수훈(山上垂訓, Sermon on the Mount) 중에 가르치신 내용 중 하나이다. 영어로는 다음과 같이 표현한다. “Do to others as you would have them do to you(남에게 대접을 받고자 하는 대로 너희도 남을 대접하라).”
이 어구는 성경 마태복음 7장 12절과 누가복음 6장 31절에 기록되어 있는데, 마태복음에 기록된 황금률 전문은 다음과 같다. “So in everything, do to others what you would have them do to you, for this sums up the Law and the Prophets.” (그러므로 무엇이든지 남에게 대접을 받고자 하는 대로 너희도 남을 대접하라. 이것이 율법이요 선지자니라.) 즉 이 황금률은 과거 모세의 율법과 선지자들의 가르침들을 한 문장으로 요약한 것으로, 종교를 떠나서라도 오늘날까지 대단히 중요한 도덕 원칙으로 간주되고 있다.
우리나라에도 널리 알려진 ‘뿌린 대로 거둔다’라는 격언은 우리의 행실이 좋은 것이든 나쁜 것이든 같은 종류로 우리에게 돌아온다는 의미로, 그 기원은 성경에 있다. 갈라디아서(Galatians) 6장 7절을 보면 “Whatsoever a man soweth, that shall he also reap.”라고 기록되어 있는데, 이를 현대영어로 표현하면 다음과 같다. “As you sow, so shall you reap(당신이 뿌린 대로 수확할 것이다).”
‘An eye for an eye, a tooth for a tooth(눈에는 눈, 이에는 이)’라는 표현도 성경에 실려 있다. 이는 잘못된 행위를 하면 그에 상응하는 값을 치러야 한다는 의미로, 사실 이 법은 성경보다 훨씬 이전인 기원전 18세기에 고대 바빌로니아의 왕 함무라비가 만든 법전, 일명 ‘함무라비 법전 (Code of Hammurabi)’에 기록되어 있는 법이다. 물론 예수님께서 이 법에 적힌 것처럼 눈에는 눈, 이에는 이로 보복하라고 말씀하신 것은 아니다. 성경 마태복음에는 다음과 같이 기록되어 있다. “You have heard that it was said, ‘Eye for eye, and tooth for tooth.’ But I tell you, do not resist an evil person. If anyone slaps you on the right cheek, turn to them the other cheek also.”(또 눈은 눈으로, 이는 이로 갚으라 하였다는 것을 너희가 들었으나, 나는 너희에게 이르노니 악한 자를 대적지 말라. 누구든지 네 오른편 뺨을 치거든 왼편도 돌려 대라.)
박희성
‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
BC 6세기 전반에 크로토네에서 피타고라스가 창설한 고대 그리스 철학의 한 학파로 수학, 천문학, 음악을 연구하여 업적을 남긴 단체이면서 동시에 사람들의 정신 세계의 정화와 영혼의 구제를 목적으로 하는 종교단체이기도 하였다. 또 정치적인 성격도 가지고 있어서, BC 5세기에는 이탈리아 남부의 크로토네를 지배하기도 하여 한때는 강대한 세력을 가지고 있었다.
그러나 피타고라스 본인은 태어난 날과 죽은 날이 정확히 알려지지 않았을 뿐만 아니라 책 한 권 남기지 않았다. 오로지 아는 거라고는 피타고라스가 기원전 569년께 사모스 섬에서 태어났고 기원전 500년께 이탈리아 남단의 크로톤(지금의 크로토나)이라는 곳에서 생을 마감했다는 정도이다.
피타고라스는 자기의 후계자를 Pythagoreioi라고 부르고 그를 따르는 사람들을 Pythagoristai라고 불렀다. 그러나 피타고라스의 죽음 이후 제자들은 수학이나 음악 등의 학문을 지망하는 학문생과 교단의 윤리적, 종교적 전통을 계승하는 수업생으로 갈라졌고, BC 5세기 후반에 피타고라스 학파의 중심은 붕괴되었지만 플라톤을 비롯한 여러 사람에게 끼친 학문적인 영향은 컸다.
제자인 히파수스는 정사각형의 대각선의 길이를 표현할 수 있는 어떤 유리수도 존재하지 않음을 증명하였다. 피타고라스 학파의 이단이었던 그는 바다에서 난파를 당해 죽었다고도 하고 피타고라스 학파에 의해 암살되었다고도 한다. 히파수스의 증명이 있기 전까지 모든 피타고라스 학파 사람들은 정수와 정수의 비로 모든 기하학적인 대상을 표현할 수 있다고 믿고 있었다. 비록 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 나타낼 수 있는 분수를 아무도 찾지는 못하였어도 그들이 아직 찾지 못한 어떤 정수의 비가 존재할 것이라는 믿음이 있었다. 피타고라스 학파는 다른 수의 존재의 필요성을 받아들이려 하지 않았고, 따라서 히파수스의 증명으로 그들은 혼란에 빠져 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이를 √ 가 아닌 다른 방법으로 나타내려 하였다.
또한 피타고라스는 자연수의 성질 중 간단하거나 아름다운 수라고 생각되는 수에 홀수, 짝수, 소수, 서로 소인 수, 과잉수, 완전수, 부족수 등과 같이 이름을 붙였다. 여기에서 완전수는 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신과 같은 수이고, 과잉수는 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 큰 수이며, 부족수는 자기 자신을 제외한 모든 약수의 합이 자기 자신보다 작은 수이다. 10과 18로 예를 들면, 10의 약수는 1, 2, 5, 10이고 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18로서 자기 자신을 제외한 18의 약수의 합은 1+2+3+6+9=21로 18<1+2+3+6+9이고, 자기 자신을 제외한 10의 약수의 합은 1+2+5=8로 10>1+2+5이므로 18은 과잉수이고 10은 부족수이다.
수학적인 우주론을 구상하고 ‘만물은 수에서 이루어진다’고 주장한 피타고라스 학파 사람들은 존재하는 수는 어떤 형태를 가져야만 한다고 생각했기 때문에 항상 수를 도형과 관련시켜서 생각했다. 그들은 점을 나타내는 모나드(monad)를 생각했으며, 모나드의 배열에 의해서 나타낼 수 있는 수에 많은 관심을 가지고 있었다. 그들은 [그림 1]과 같이 모나드를 정삼각형의 모양으로 배열해서 나타낼 수 있는 수를 삼각수라 하고, [그림 2]와 같이 정사각형의 모양으로 나타낼 수 있는 수를 사각수라 하였다.n번째 삼각수 Tn은 Tn = 1+2+3+…+ n = n(n+1)/2 이고, n번째 사각수 Sn은 Sn = n²= n(n+1)/2 + n(n-1)/2 = Tn + Tn-1 과 같이 나타낼 수 있다. 피타고라스 학파의 삼각수, 사각수, 오각수 등 형상수의 연구는 가치가 있는 것은 아니지만 뒤에 정수론 연구에 큰 영향을 주었다.
이승민<재미난 수학세계> 필자인 이승민 선생님은 중앙대 수학과를 졸업한 뒤 서울 보성여고에서 11년 동안 수학교사로 재직했으며 재능방송 제작팀장, 마인드맵 인스트럭터 등을 지냈다. 교육부 디지털교과서 개발위원, 국제수학경시대회(WMC) 출제위원, 배재대 수학과 겸임교수 등을 역임했다. 현재는 화신교육그룹 연구소장을 맡고 있다.
박희성의 맛깔난 잉글리시 - 성경에 뿌리 둔 황금률 영어 표현들
서양의 역사는 종교의 역사와 불가분의 관계에 있다. 따라서 영어라는 언어의 역사도 성경과 밀접하게 관련되어 있으며, 현대 영어의 표현 중에는 성경에서 유래한 표현들이 대단히 많다. 가령 종교, 도덕, 철학 원칙 중 하나인 ‘황금률(Golden Rule)’은 예수님께서 산상수훈(山上垂訓, Sermon on the Mount) 중에 가르치신 내용 중 하나이다. 영어로는 다음과 같이 표현한다. “Do to others as you would have them do to you(남에게 대접을 받고자 하는 대로 너희도 남을 대접하라).”이 어구는 성경 마태복음 7장 12절과 누가복음 6장 31절에 기록되어 있는데, 마태복음에 기록된 황금률 전문은 다음과 같다. “So in everything, do to others what you would have them do to you, for this sums up the Law and the Prophets.” (그러므로 무엇이든지 남에게 대접을 받고자 하는 대로 너희도 남을 대접하라. 이것이 율법이요 선지자니라.) 즉 이 황금률은 과거 모세의 율법과 선지자들의 가르침들을 한 문장으로 요약한 것으로, 종교를 떠나서라도 오늘날까지 대단히 중요한 도덕 원칙으로 간주되고 있다.
우리나라에도 널리 알려진 ‘뿌린 대로 거둔다’라는 격언은 우리의 행실이 좋은 것이든 나쁜 것이든 같은 종류로 우리에게 돌아온다는 의미로, 그 기원은 성경에 있다. 갈라디아서(Galatians) 6장 7절을 보면 “Whatsoever a man soweth, that shall he also reap.”라고 기록되어 있는데, 이를 현대영어로 표현하면 다음과 같다. “As you sow, so shall you reap(당신이 뿌린 대로 수확할 것이다).”
‘An eye for an eye, a tooth for a tooth(눈에는 눈, 이에는 이)’라는 표현도 성경에 실려 있다. 이는 잘못된 행위를 하면 그에 상응하는 값을 치러야 한다는 의미로, 사실 이 법은 성경보다 훨씬 이전인 기원전 18세기에 고대 바빌로니아의 왕 함무라비가 만든 법전, 일명 ‘함무라비 법전 (Code of Hammurabi)’에 기록되어 있는 법이다. 물론 예수님께서 이 법에 적힌 것처럼 눈에는 눈, 이에는 이로 보복하라고 말씀하신 것은 아니다. 성경 마태복음에는 다음과 같이 기록되어 있다. “You have heard that it was said, ‘Eye for eye, and tooth for tooth.’ But I tell you, do not resist an evil person. If anyone slaps you on the right cheek, turn to them the other cheek also.”(또 눈은 눈으로, 이는 이로 갚으라 하였다는 것을 너희가 들었으나, 나는 너희에게 이르노니 악한 자를 대적지 말라. 누구든지 네 오른편 뺨을 치거든 왼편도 돌려 대라.)
박희성‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
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