하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - '신비의 수' 142587의 비밀!
몇 년 전 프랑스의 유명 작가 베르나르 베르베르의 작품 ‘신’에 소개되면서 폭발적인 관심이 모아졌던 신비의 수 142587에 숨겨진 비밀을 찾아보자. 우선 142587이 어떤 신비스러움을 가지고 있는지 살펴보자. 계산기를 이용해 142587에 1부터 6까지 차례로 곱하고 그 결과를 서로 비교해보자. 어떤 특징이 보이는가?
142857×1=142857 142857×2=285714 142857×3=428571 142857×4=571428 142857×5=714285 142857×6=857142
흥미롭게도 142587에 1부터 6까지 곱해 만들어진 6자리 수는 원래 있던 6개의 숫자가 순환하는 모양으로 자리만 서로 바꾸어 나타난다. 이제 142587에 1부터 6까지 곱해 만들어진 6개의 6자리 수를 각각 3자리씩 끊어 더해보자. 어떤 특징이 보이는가?
142857×1=142,857 → 142+857=999
999=857+142 ← 857,142=6×142857
142857×2=285,714 → 285+714=999
999=714+285 ← 714,285=5×142857
142857×3=428,571 → 428+571=999
999=571+428 ← 571,428=4×142857
신기하게도 모두 999가 됨을 확인할 수 있다. 그런데 좀 더 자세히 들여다보면 142587에 1을 곱한 값과 6을 곱한 값의 앞뒤 3자리 수가 서로 대칭으로 나타나는 것을 볼 수 있다. 물론 2와 5를 곱한 결과와 3과 4를 곱한 결과도 각각 앞뒤 3자리 수가 대칭으로 나타남을 알 수 있다. 그렇다면 142587에 1부터 6이 아닌 1000 이하의 수를 곱해 나온 수를 뒤에서부터 3자리씩 끊어 더하면 어떻게 될까? 계산기를 이용해 임의의 수를 곱해보고 나타나는 수들로부터 특징을 직접 발견할 수 있길 바란다.
142857×7=999,999 → 999+999=1,998
142857×8=1,142,856 →1+142+856=999
142857×9=1,285,713 →1+285+713=999
142857×13=1,857,141 → 1+857+141=999
142857×14=1,999,998 → 1+999+998=1,998
142857×15=2,142,855 → 2+142+855=999
142857×965=137,857,005 → 137+857+5=999
142857×966=137,999,862 → 137+999+862=1998
142857×967=138,142,719 → 138+142+719=999
위에서 보듯이 142587에 임의의 수를 곱하면 999나 1998을 얻게 된다. 좀 더 구체적으로 얘기하면 곱한 수가 7의 배수가 아닐 때 999를 얻고 곱한 수가 7의 배수일 때 999의 두 배인 1998이 얻어진다. 그렇다면 이렇게 신비한 수 142587은 어떻게 탄생하게 되었을까? 해답은 다음과 같은 순환소수에 있다. 1/3=0.3333… 1/6=0.1666… 1/7=0.142587142587… 눈치가 빠른 사람은 벌써 느꼈을 것이다. 신비의 수 12587은 바로 순환소수 1/7의 순환마디이다. 따라서 142587에 2를 곱해 나온 수는 2/7의 소수점 이하 첫 6자리, 3을 곱했을 때 나온 수는 3/7의 소수점 이하 첫 6자리와 같다. 이들은 모두 배열순서만 다를 뿐 142587이 계속되어 나타나게 된다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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민사고 고문수 쌤의 신나는 영어여행 - 영어공부 지루할땐 팝송을 들어라 !
지난 칼럼에 영어를 잘하기 위해서 고교 때까지 목표(iBT토플기준 60~80점)를 정하는 것이 중요하다고 하였다. 그러나 토플이란 영미대학생들 수준의 영어라는 점을 감안하자. 물론 원어민 대학생 수준에는 훨씬 미치지 못하는 점수지만 저 정도면 그래도 스스로 해결해 나갈 방법은 안다고 본다. 더 높은 수준이 필요하면 스스로 더 하면 된다. 그러면 이정도 수준을 목표라고 가정하고 영어공부로드맵에 대해 논한다. 로드맵은 각 개인의 현 영어수준에 따라 다양하게 전개될 수 있음으로 필요한 활동과 시간 중심으로 논한다.
영어공부로드맵의 기본철학은 ‘많이 듣고, 많이 읽고, 많이 말하고, 많이 쓰는것’이다. 혹시나 단기간에 목표를 이룰 수 있는 비법을 기대했다면 실망스런 말이 될 수도 있다. 한 나라의 언어를 익힌다는 것은 많은 시간을 요구함으로 단기간에 저러한 목표에 다다를 수 없다. 어느 한 분야의 전문가가 되려면 적어도 ‘일만 시간의 법칙’대로 그 분야에 1만 시간을 투자해야한다.
가령 영어를 잘하려면 하루 3시간씩 개인에게 적합한 로드맵을 따라 영어공부를 할 경우 대략 10여년의 세월이 필요하다. 그러나 기간을 단축시키고 싶으면 하루 10시간씩 빡세게(?)하면 3년정도만에도 영어달인이 될 수 있다. 이렇게 제대로만 하면 앞서 제시한 목표를 훨씬 넘어서는 실력을 갖출 수 있다. 대부분의 한국학생들이 초등3학년~고교3년까지 하루 한 시간씩 영어 공부한다고 가정하면(공휴일, 주말제외) 대략 일만시간의 3분의 1정도의 양을 채운다. 이렇게 계산하면 내가 왜 영어를 실생활에 활용하지 못하는지 대략 답이 나온다. 일단 집중력은 논외로 치더라고 양적으로 턱없이 모자란다.
‘듣고 읽는 것’은 input에 해당하고 ‘쓰고 말하는 것’은 output이다. 사실 언어공부는 많이 듣고 읽다보면 저절로 말하고 쓸수있게 되는 것인데 대부분의 한국학생들은 input이 매우 적다. 영어교과서외에는 스스로 원서나 영자신문이나 잡지 등을 읽지 않고 학교나 학원에서의 영어듣기외에는 영어방송을 듣거나 보지 않는다. 그러니 output(말하고 쓰기)이 안되는 것이 당연하다. 이렇게 애매하게 10년 넘게 영어공부를 해왔으니 죽을 때까지 써보지도 못하는 거다. 일단 양적으로 터무니없이 부족함을 논하였다. 다행인 것은 필자가 영어공부하던 1970~80년대와 달리 지금은 영어공부할 수 있는 자료가 넘쳐난다.
듣기공부를 위하여 Discovery, HISTORY, NATIONAL GEOGRAPHY, BBC, CNN (이상 TV방송 및 인터넷), TED, Korea Herald, Korea Times, Times, 네이버영어공부(이상 인터넷) 등 무수히 많다.
좀 지루하면 팝송 (여러앱을 통해 팝송을 월3000~4000원이면 무한반복해서 영어가사를 보면서 들을 수 있다.)을 듣자!! 인간의 귀는 생각보다 대단한 능력을 갖고 있다.
느린속도와 쉬운 단어의 문장으로 구성된 내용만 계속 들으면 거기에 익숙해져서 좀 더 어려운 내용으로 빠른 속도로 듣게 되면 매우 어렵게 느껴진다. 어렵더라도 가능하면 좀 더 어렵고 빠른 내용을 계속 들으시라! 빠른 속도의 내용을 계속 듣다보면 거기에 익숙해진다. 어느 순간 쉽게 느껴진다. 이건 상식이다. 우리가 언어를 배운 것도 이렇게 배웠지 않은가? 듣기 내용을 사전에 미리 공부해서 내용을 알고서 들으면 더욱 잘 들리고 효과도 좋다. 이렇게 영어 공부할 수 있는 자료가 넘쳐나는데 영어를 못하는 것은 목표의식과 영어공부에 대한 의지가 강하지 않기 때문이다.영어를 잘하면 비즈니스기회가 110배가 된다. 60억 인구를 대상으로 비즈니스가 가능해지기 때문이다.
고문수
고문수 선생님은 현재 글로벌대학 컨설팅업체 유니브로 대표이자 영어전문 컨설팅회사 (주)굿멘토스 대표이사를 맡고 있다. 민사고 영어과 수석교사, 민사고 영어토론회 디렉터, 중앙일보 칼럼니스트 등을 지냈다. 영국 워릭대에서 국제정치학 석사 학위를 받았으며 저서로는 ‘대입혁명’ 등이 있다.
몇 년 전 프랑스의 유명 작가 베르나르 베르베르의 작품 ‘신’에 소개되면서 폭발적인 관심이 모아졌던 신비의 수 142587에 숨겨진 비밀을 찾아보자. 우선 142587이 어떤 신비스러움을 가지고 있는지 살펴보자. 계산기를 이용해 142587에 1부터 6까지 차례로 곱하고 그 결과를 서로 비교해보자. 어떤 특징이 보이는가?
142857×1=142857 142857×2=285714 142857×3=428571 142857×4=571428 142857×5=714285 142857×6=857142
흥미롭게도 142587에 1부터 6까지 곱해 만들어진 6자리 수는 원래 있던 6개의 숫자가 순환하는 모양으로 자리만 서로 바꾸어 나타난다. 이제 142587에 1부터 6까지 곱해 만들어진 6개의 6자리 수를 각각 3자리씩 끊어 더해보자. 어떤 특징이 보이는가?
142857×1=142,857 → 142+857=999
999=857+142 ← 857,142=6×142857
142857×2=285,714 → 285+714=999
999=714+285 ← 714,285=5×142857
142857×3=428,571 → 428+571=999
999=571+428 ← 571,428=4×142857
신기하게도 모두 999가 됨을 확인할 수 있다. 그런데 좀 더 자세히 들여다보면 142587에 1을 곱한 값과 6을 곱한 값의 앞뒤 3자리 수가 서로 대칭으로 나타나는 것을 볼 수 있다. 물론 2와 5를 곱한 결과와 3과 4를 곱한 결과도 각각 앞뒤 3자리 수가 대칭으로 나타남을 알 수 있다. 그렇다면 142587에 1부터 6이 아닌 1000 이하의 수를 곱해 나온 수를 뒤에서부터 3자리씩 끊어 더하면 어떻게 될까? 계산기를 이용해 임의의 수를 곱해보고 나타나는 수들로부터 특징을 직접 발견할 수 있길 바란다.
142857×7=999,999 → 999+999=1,998
142857×8=1,142,856 →1+142+856=999
142857×9=1,285,713 →1+285+713=999
142857×13=1,857,141 → 1+857+141=999
142857×14=1,999,998 → 1+999+998=1,998
142857×15=2,142,855 → 2+142+855=999
142857×965=137,857,005 → 137+857+5=999
142857×966=137,999,862 → 137+999+862=1998
142857×967=138,142,719 → 138+142+719=999
위에서 보듯이 142587에 임의의 수를 곱하면 999나 1998을 얻게 된다. 좀 더 구체적으로 얘기하면 곱한 수가 7의 배수가 아닐 때 999를 얻고 곱한 수가 7의 배수일 때 999의 두 배인 1998이 얻어진다. 그렇다면 이렇게 신비한 수 142587은 어떻게 탄생하게 되었을까? 해답은 다음과 같은 순환소수에 있다. 1/3=0.3333… 1/6=0.1666… 1/7=0.142587142587… 눈치가 빠른 사람은 벌써 느꼈을 것이다. 신비의 수 12587은 바로 순환소수 1/7의 순환마디이다. 따라서 142587에 2를 곱해 나온 수는 2/7의 소수점 이하 첫 6자리, 3을 곱했을 때 나온 수는 3/7의 소수점 이하 첫 6자리와 같다. 이들은 모두 배열순서만 다를 뿐 142587이 계속되어 나타나게 된다.
조계성조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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민사고 고문수 쌤의 신나는 영어여행 - 영어공부 지루할땐 팝송을 들어라 !
지난 칼럼에 영어를 잘하기 위해서 고교 때까지 목표(iBT토플기준 60~80점)를 정하는 것이 중요하다고 하였다. 그러나 토플이란 영미대학생들 수준의 영어라는 점을 감안하자. 물론 원어민 대학생 수준에는 훨씬 미치지 못하는 점수지만 저 정도면 그래도 스스로 해결해 나갈 방법은 안다고 본다. 더 높은 수준이 필요하면 스스로 더 하면 된다. 그러면 이정도 수준을 목표라고 가정하고 영어공부로드맵에 대해 논한다. 로드맵은 각 개인의 현 영어수준에 따라 다양하게 전개될 수 있음으로 필요한 활동과 시간 중심으로 논한다.
영어공부로드맵의 기본철학은 ‘많이 듣고, 많이 읽고, 많이 말하고, 많이 쓰는것’이다. 혹시나 단기간에 목표를 이룰 수 있는 비법을 기대했다면 실망스런 말이 될 수도 있다. 한 나라의 언어를 익힌다는 것은 많은 시간을 요구함으로 단기간에 저러한 목표에 다다를 수 없다. 어느 한 분야의 전문가가 되려면 적어도 ‘일만 시간의 법칙’대로 그 분야에 1만 시간을 투자해야한다.
가령 영어를 잘하려면 하루 3시간씩 개인에게 적합한 로드맵을 따라 영어공부를 할 경우 대략 10여년의 세월이 필요하다. 그러나 기간을 단축시키고 싶으면 하루 10시간씩 빡세게(?)하면 3년정도만에도 영어달인이 될 수 있다. 이렇게 제대로만 하면 앞서 제시한 목표를 훨씬 넘어서는 실력을 갖출 수 있다. 대부분의 한국학생들이 초등3학년~고교3년까지 하루 한 시간씩 영어 공부한다고 가정하면(공휴일, 주말제외) 대략 일만시간의 3분의 1정도의 양을 채운다. 이렇게 계산하면 내가 왜 영어를 실생활에 활용하지 못하는지 대략 답이 나온다. 일단 집중력은 논외로 치더라고 양적으로 턱없이 모자란다.
‘듣고 읽는 것’은 input에 해당하고 ‘쓰고 말하는 것’은 output이다. 사실 언어공부는 많이 듣고 읽다보면 저절로 말하고 쓸수있게 되는 것인데 대부분의 한국학생들은 input이 매우 적다. 영어교과서외에는 스스로 원서나 영자신문이나 잡지 등을 읽지 않고 학교나 학원에서의 영어듣기외에는 영어방송을 듣거나 보지 않는다. 그러니 output(말하고 쓰기)이 안되는 것이 당연하다. 이렇게 애매하게 10년 넘게 영어공부를 해왔으니 죽을 때까지 써보지도 못하는 거다. 일단 양적으로 터무니없이 부족함을 논하였다. 다행인 것은 필자가 영어공부하던 1970~80년대와 달리 지금은 영어공부할 수 있는 자료가 넘쳐난다.듣기공부를 위하여 Discovery, HISTORY, NATIONAL GEOGRAPHY, BBC, CNN (이상 TV방송 및 인터넷), TED, Korea Herald, Korea Times, Times, 네이버영어공부(이상 인터넷) 등 무수히 많다.
좀 지루하면 팝송 (여러앱을 통해 팝송을 월3000~4000원이면 무한반복해서 영어가사를 보면서 들을 수 있다.)을 듣자!! 인간의 귀는 생각보다 대단한 능력을 갖고 있다.
느린속도와 쉬운 단어의 문장으로 구성된 내용만 계속 들으면 거기에 익숙해져서 좀 더 어려운 내용으로 빠른 속도로 듣게 되면 매우 어렵게 느껴진다. 어렵더라도 가능하면 좀 더 어렵고 빠른 내용을 계속 들으시라! 빠른 속도의 내용을 계속 듣다보면 거기에 익숙해진다. 어느 순간 쉽게 느껴진다. 이건 상식이다. 우리가 언어를 배운 것도 이렇게 배웠지 않은가? 듣기 내용을 사전에 미리 공부해서 내용을 알고서 들으면 더욱 잘 들리고 효과도 좋다. 이렇게 영어 공부할 수 있는 자료가 넘쳐나는데 영어를 못하는 것은 목표의식과 영어공부에 대한 의지가 강하지 않기 때문이다.영어를 잘하면 비즈니스기회가 110배가 된다. 60억 인구를 대상으로 비즈니스가 가능해지기 때문이다.
고문수고문수 선생님은 현재 글로벌대학 컨설팅업체 유니브로 대표이자 영어전문 컨설팅회사 (주)굿멘토스 대표이사를 맡고 있다. 민사고 영어과 수석교사, 민사고 영어토론회 디렉터, 중앙일보 칼럼니스트 등을 지냈다. 영국 워릭대에서 국제정치학 석사 학위를 받았으며 저서로는 ‘대입혁명’ 등이 있다.
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