하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 힐베르트의 호텔
이탈리아의 천재 수학자이자 천문학자인 갈릴레이는 무한집합을 포함하여 어떤 경우라 할지라도 전체는 부분보다 크다고 믿었다. 간단하게 홀수와 짝수로 구성되어 있는 정수의 집합을 생각해보자. 그림과 같이 정수의 집합은 두 부분집합의 합집합, 즉 홀수의 집합과 짝수의 집합의 합집합으로 이루어져 있으므로 정수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수는 홀수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수나 짝수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수에 비해 두 배는 되어 보인다. 과연 그럴까?
이 물음에 힐베르트는 재미있는 예제로 답을 대신 가르쳐준다. 다음은 ‘힐베르트의 호텔’이라고 불리는 재미있는 얘기다. 힐베르트가 종업원으로 일하고 있는 호텔에는 무한개의 객실이 있다. 어느 날 한 손님이 호텔에 찾아왔는데 무한개의 객실에 모두 손님이 들어 차 있어서 빈 방이 없었다. 그러나 힐베르트는 잠시 고민하더니 새로 온 손님에게 빈 방을 마련해줄 수 있다고 호언장담을 한다.
그는 객실로 올라가 모든 투숙객들에게 정중하게 부탁을 한다. “죄송하지만 손님들께서는 옆방으로 한 칸씩만 이동해 주시기 바랍니다.” 기존의 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겨 갔으며 자기 방을 못 찾아 헤매는 사람도 없었다. 그리고 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 여유 있게 들어갔다.
이것은 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대임을 말해 주는 좋은 예이다. 그런데 다음 날 밤 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 무한개의 방을 모두 차지하고 있는 상태에서 무한히 긴 기차를 타고 온 무한히 많은 손님들이 새로 도착한 것이다.
힐베르트는 당황하지 않고 이번에도 간단하게 해결책을 내놓았다. 그는 곧 객실에 안내 방송을 내보냈다. “손님 여러분, 죄송하지만 현재 묵고 계신 객실 번호에 2를 곱해서 그 번호에 해당하는 객실로 모두 옮겨 주시기 바랍니다. 감사합니다!”
이리하여 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로 옮기는 방식으로 모든 방에 있던 손님들이 각자 이동을 했다. 자기 방을 빼앗긴 손님이 하나도 없음에도 불구하고 어느 새 이 호텔에는 무한개의 빈 방이 생긴 것이다. 힐베르트의 재치 덕분에 새로 도착한 무한대의 손님들은 홀수 번호가 붙어 있는 무한개의 객실로 모두 배정되어 편히 쉴 수 있었다. 이것은 무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대임을 말해주고 있다.
그림과 같이 정수의 집합을 구성하는 모든 원소는 짝수의 집합을 구성하는 모든 원소와 빠짐없이 정확하게 하나씩 서로 짝을 맺을 수 있다. 이처럼 무한의 공간에서는 전체집합과 부분집합 사이에 1 대 1 대응이 존재하여 전체집합과 부분집합의 크기가 같은 경우가 얼마든지 가능하다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 신들에게 배우는 영어 (1) 대지의 여신 ‘가이아’
유럽 문화가 헬레니즘과 헤브라이즘에 바탕을 두고 있기 때문에 그리스·로마 신화와 성경에 대한 지식은 영어 학습에 큰 도움이 됩니다. 특히, 그리스·로마 신화는 고급 어휘를 보다 쉽고, 재밌게 공부할 수 있는 아주 매력적인 교재지요. 그럼 [신들에게 배우는 영어] 첫 번째 여행을 같이 떠나보도록 하겠습니다~^^*
첫 번째로 만나볼 신은 바로 대지의 여신 가이아입니다. 영어로는 geo라고 하기 때문에 영어에서 geo로 시작하는 단어들은 지구, 혹은 땅과 연관이 있답니다. geography:지리학-땅을 그리거나 혹은 설명(graph), geology:지질학-땅을 연구(logy), geometry:기하학-땅을 측정(metry/meter)과 같은 단어들의 뜻을 쉽게 유추할 수 있습니다. 한 걸을 더 나아가 천동설:geocentricism(center인 지구를 중심으로 별들이 돌기 때문에)이란 어려운 단어를 쉽게 외울 수 있습니다. 참고로 지동설은 heliocentricism이라고 하는데 helios가 태양의 신이므로 태양을 중심으로 지구가 돈다고 붙여진 이름이지요.
대지의 신 가이아에게 많은 단어를 배웠다면 이번에는 최초의 여성 판도라를 통해 단어들을 한 번 배워 볼까요? 물론 ‘판도라의 상자’는 들어보셨겠지요? 전 인류에게 희망을 제외한 모든 나쁜 것들을 퍼트린 이 여성은 사실 신들에게 모든(pan) 선물(dora)을 받았기 때문에 이 이름이 붙여지게 된 거랍니다. 그래서 pan이 붙은 단어들은 ‘모든’의 뜻을 가지고 있습니다. panorama:광대한 풍경 전체(-horama가 그리스 어원으로 view/보다의 뜻이므로), pantheon: 만신전(theo가 신이라는 뜻이므로), 그리고 이제는 다음과 같은 어려운 단어도 쉽게 이해할 수 있습니다. pandemonium: 복마전/대혼란 -모든 악마(demon)들이 모여 있으니 혼란스러울 수밖에 없겠네요. 어때요? 토플/텝스에나 나오는 고급어휘들을 신들에게 배우니 너무나 쉽지 않나요?^^ 끝으로 판도라의 남편 이름은 epimetheus: 나중에 생각하는 자입니다.
그리고 그의 형의 이름은 인간에게 불을 가져다준 prometheus: 먼저 생각하는 자이고요. 이제 왜 prolog(ue)가 서두라는 뜻이고 epilog(ue)가 끝맺음이란 뜻인지 아시겠지요? 참고로 log는 logos(말씀)란 단어에서 나온 말이랍니다. 다음 시간에는 어떤 신에게 영어를 배울지 기대하시면서 오늘 배운 단어들 복습하시는 것 잊지 마세요~!!!^^*
배시원
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
이탈리아의 천재 수학자이자 천문학자인 갈릴레이는 무한집합을 포함하여 어떤 경우라 할지라도 전체는 부분보다 크다고 믿었다. 간단하게 홀수와 짝수로 구성되어 있는 정수의 집합을 생각해보자. 그림과 같이 정수의 집합은 두 부분집합의 합집합, 즉 홀수의 집합과 짝수의 집합의 합집합으로 이루어져 있으므로 정수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수는 홀수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수나 짝수의 집합을 구성하고 있는 원소의 수에 비해 두 배는 되어 보인다. 과연 그럴까?
이 물음에 힐베르트는 재미있는 예제로 답을 대신 가르쳐준다. 다음은 ‘힐베르트의 호텔’이라고 불리는 재미있는 얘기다. 힐베르트가 종업원으로 일하고 있는 호텔에는 무한개의 객실이 있다. 어느 날 한 손님이 호텔에 찾아왔는데 무한개의 객실에 모두 손님이 들어 차 있어서 빈 방이 없었다. 그러나 힐베르트는 잠시 고민하더니 새로 온 손님에게 빈 방을 마련해줄 수 있다고 호언장담을 한다.
그는 객실로 올라가 모든 투숙객들에게 정중하게 부탁을 한다. “죄송하지만 손님들께서는 옆방으로 한 칸씩만 이동해 주시기 바랍니다.” 기존의 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겨 갔으며 자기 방을 못 찾아 헤매는 사람도 없었다. 그리고 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 여유 있게 들어갔다.
이것은 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대임을 말해 주는 좋은 예이다. 그런데 다음 날 밤 호텔에는 더욱 곤란한 문제가 발생했다. 투숙객이 무한개의 방을 모두 차지하고 있는 상태에서 무한히 긴 기차를 타고 온 무한히 많은 손님들이 새로 도착한 것이다.
힐베르트는 당황하지 않고 이번에도 간단하게 해결책을 내놓았다. 그는 곧 객실에 안내 방송을 내보냈다. “손님 여러분, 죄송하지만 현재 묵고 계신 객실 번호에 2를 곱해서 그 번호에 해당하는 객실로 모두 옮겨 주시기 바랍니다. 감사합니다!”
이리하여 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로 옮기는 방식으로 모든 방에 있던 손님들이 각자 이동을 했다. 자기 방을 빼앗긴 손님이 하나도 없음에도 불구하고 어느 새 이 호텔에는 무한개의 빈 방이 생긴 것이다. 힐베르트의 재치 덕분에 새로 도착한 무한대의 손님들은 홀수 번호가 붙어 있는 무한개의 객실로 모두 배정되어 편히 쉴 수 있었다. 이것은 무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대임을 말해주고 있다.
그림과 같이 정수의 집합을 구성하는 모든 원소는 짝수의 집합을 구성하는 모든 원소와 빠짐없이 정확하게 하나씩 서로 짝을 맺을 수 있다. 이처럼 무한의 공간에서는 전체집합과 부분집합 사이에 1 대 1 대응이 존재하여 전체집합과 부분집합의 크기가 같은 경우가 얼마든지 가능하다.
조계성조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 신들에게 배우는 영어 (1) 대지의 여신 ‘가이아’
유럽 문화가 헬레니즘과 헤브라이즘에 바탕을 두고 있기 때문에 그리스·로마 신화와 성경에 대한 지식은 영어 학습에 큰 도움이 됩니다. 특히, 그리스·로마 신화는 고급 어휘를 보다 쉽고, 재밌게 공부할 수 있는 아주 매력적인 교재지요. 그럼 [신들에게 배우는 영어] 첫 번째 여행을 같이 떠나보도록 하겠습니다~^^*
첫 번째로 만나볼 신은 바로 대지의 여신 가이아입니다. 영어로는 geo라고 하기 때문에 영어에서 geo로 시작하는 단어들은 지구, 혹은 땅과 연관이 있답니다. geography:지리학-땅을 그리거나 혹은 설명(graph), geology:지질학-땅을 연구(logy), geometry:기하학-땅을 측정(metry/meter)과 같은 단어들의 뜻을 쉽게 유추할 수 있습니다. 한 걸을 더 나아가 천동설:geocentricism(center인 지구를 중심으로 별들이 돌기 때문에)이란 어려운 단어를 쉽게 외울 수 있습니다. 참고로 지동설은 heliocentricism이라고 하는데 helios가 태양의 신이므로 태양을 중심으로 지구가 돈다고 붙여진 이름이지요.대지의 신 가이아에게 많은 단어를 배웠다면 이번에는 최초의 여성 판도라를 통해 단어들을 한 번 배워 볼까요? 물론 ‘판도라의 상자’는 들어보셨겠지요? 전 인류에게 희망을 제외한 모든 나쁜 것들을 퍼트린 이 여성은 사실 신들에게 모든(pan) 선물(dora)을 받았기 때문에 이 이름이 붙여지게 된 거랍니다. 그래서 pan이 붙은 단어들은 ‘모든’의 뜻을 가지고 있습니다. panorama:광대한 풍경 전체(-horama가 그리스 어원으로 view/보다의 뜻이므로), pantheon: 만신전(theo가 신이라는 뜻이므로), 그리고 이제는 다음과 같은 어려운 단어도 쉽게 이해할 수 있습니다. pandemonium: 복마전/대혼란 -모든 악마(demon)들이 모여 있으니 혼란스러울 수밖에 없겠네요. 어때요? 토플/텝스에나 나오는 고급어휘들을 신들에게 배우니 너무나 쉽지 않나요?^^ 끝으로 판도라의 남편 이름은 epimetheus: 나중에 생각하는 자입니다.
그리고 그의 형의 이름은 인간에게 불을 가져다준 prometheus: 먼저 생각하는 자이고요. 이제 왜 prolog(ue)가 서두라는 뜻이고 epilog(ue)가 끝맺음이란 뜻인지 아시겠지요? 참고로 log는 logos(말씀)란 단어에서 나온 말이랍니다. 다음 시간에는 어떤 신에게 영어를 배울지 기대하시면서 오늘 배운 단어들 복습하시는 것 잊지 마세요~!!!^^*
배시원배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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