하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 사다리 타기 게임 속 '일대일 대응 함수'
과자나 아이스크림이 먹고 싶을 때 친구들과 사다리 타기 게임을 통해 자신이 내야 할 금액을 정했던 경험이 몇 번씩 있을 것이다. 그런데 사다리 타기 게임을 하면 서로가 절대 겹치는 일이 없이 시작점과 끝점이 정확히 하나씩만 짝지어지는 것을 경험했을 것이다. 왜 그런 것일까? 가로줄과 세로줄이 만나는 점에서 다른 줄로 옮겨가는 것은 다른 줄과 겹치는 것이 아니라 다른 줄과 자리를 맞바꾸는 것이기 때문이다. 즉, 사다리 타기를 수학적으로 표현하면 ‘일대일대응 함수’이며 가로줄을 아무리 더 첨가하더라도 여전히 일대일대응이 된다. 이처럼 사다리 타기 게임 속에는 재미있는 수학적 성질이 많이 숨어있다. 다음 문제를 풀어보면서 사다리 타기 게임에 들어있는 수학적 원리를 발견해보자.
문제1. 왼쪽 그림과 같이 태희가 움직이는 가로나 세로 선의 개수는 3개(세로-가로-세로의 순서)이다. 그러면 지훈, 수현이가 움직이는 사다리 선의 개수는 각각 몇 개인가?
문제2. 이 사다리에서 사람들이 움직일 수 있는 선은 세로선 7개, 가로선 2개로 합이 9개이다. 그러나 태희, 지훈, 수현이가 움직인 사다리 선의 개수의 합은 3+3+5=11개이다. 이유는 무엇인가? 또 세로선 3개와 가로선 2개로 이루어진 사다리는 항상 학생들이 움직인 선의 개수의 합이 11개이다. 이유는 무엇인가?
문제3. 사다리 타기의 경우 한 사람이 움직이게 되는 가로, 세로선의 합은 항상 홀수이다. 이유는 무엇인가?
문제4. 오른쪽 그림과 같이 다섯 명이 가로선의 개수가 4개인 사다리를 탄다. 이때 각각의 사람이 움직이는 선의 개수는 5개, 3개, 3개, 3개, 7개로 21개이다. 이때 (5, 3, 3, 3, 7)을 21의 ‘5분할 사다리수’라고 하면 21의 ‘5분할 사다리수’는 모두 몇 개인가? (단 (5, 3, 3, 3, 7)과 (3, 3, 3, 5, 7)은 같은 것으로 본다)
<해설>
문제1. 지훈이는 3개, 수현이는 5개의 선을 탄다.
문제2. 세로선은 항상 위에서 아래로 한 번만 움직일 수 있지만, 가로선은 양쪽에서 교차하여 지나가게 되므로 구하는 갯수는 7+2×2=11개이다. 가로선 1개에 의해 양쪽의 세로선이 2개로 분할되어 가로선 1개 그릴 때마다 세로선이 2개씩 늘어나는 셈이다. 그러므로 세로선 3개, 가로선 2개 사다리를 그리면 움직일 수 있는 선의 개수는 가로선 2개와 세로선 7개로 9개다.
문제3. 한 사람이 움직인 선의 개수는 항상 홀수다. 한 사람이 가로선을 n번 탔다고 하면 반드시 세로선은 n+1번 타게 된다. 즉 가로, 세로선의 합은 항상 2n+1개로 홀수다.
문제4. 가로선 4개, 세로선 5개이므로 한 사람이 움직일 수 있는 선의 최대 개수는 9개이다. 이 점을 고려하여 사다리수를 작은 수부터 차례대로 적는다고 가정하면
① (*, *, *, *, 9) 경우 : (1, 1, 1, 9, 9), (1, 1, 3, 7, 9), (1, 1, 5, 5, 9), (1, 3, 3, 5, 9), (3, 3, 3, 3, 9) 5개
② (*, *, *, *, 7) 경우 : (1, 1, 5, 7, 7), (1, 3, 3, 7, 7), (1, 3, 5, 5, 7), (3, 3, 3, 5, 7) 4개
③ (*, *, *, *, 5) 경우 : (1, 5, 5, 5, 5), (3, 3, 5, 5, 5) 2개 ④ (*, *, *, *, 3) 경우 : 존재하지 않는다.
그러므로 총 개수는 5+4+2=11(개)이다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 날씨에도 재미있는 단어·표현이 많아요 under the weather, fair-weather friend…
혹시 ‘호랑이 장가가는 날’ 혹은 ‘여우 시집가는 날’이 무슨 뜻인지 아세요? 햇빛이 쨍쨍한 날 내리는 비를 ‘여우비’라고 하는데, 이 ‘여우비’를 위의 표현으로 대신하기도 한답니다. 이처럼 우리말에도 날씨와 관련해서 재밌는 표현이 많은데, 그래서 오늘은 날씨와 관련된 영어 표현에 대해 알아보도록 하겠습니다.
우선 날씨를 영어로 weather라고 하는 것은 다 아시지요? 하지만, 이 단어를 초등 수준 영단어라고 얕봤다간 큰일 납니다.
지금도 그렇지만 특히 옛날 사람들에게 날씨란, 인간이 극복해야 할 커다란 자연 현상이라 여겼기 때문에 weather에 ‘악천후’란 뜻도 있습니다. 그래서 under the weather라고 하면, ‘몸이 안 좋다’라는 뜻이 되고, in the weather라고 하면 ‘비바람이 몰아치는 곳’이라는 뜻이 됩니다. 또한 be open to the weather라고 하면 ‘비바람을 맞고 있다’라는 뜻으로 해석할 수 있지요.
심지어 이 weather란 단어를 동사로 쓰면 ‘어려움을 뚫고 나가다’ 혹은 ‘극복하다’의 뜻이 된답니다. 그래서 weather a crisis라고 하면 ‘위기를 넘기다’의 뜻이 되고, 신문이나 뉴스에 나오는 weather the political storm은 ‘정치적 격변을 겪다’라는 뜻이 되는 것이지요. 그리고 우리가 흔히 ‘비가 오나, 눈이 오나’라는 표현은 in all weathers라고 할 수 있답니다. 정말 weather라는 단어를 통해 인생을 표현할 수 있답니다.
그럼 여기서 하나 더 질문 드리도록 하겠습니다. fair-weather friend는 무슨 뜻일까요? 네, 바로 ‘급할 때는 전혀 도움이 되지 않는 친구’를 가리키는 표현이랍니다. 당연히 fair-weather는 ‘좋은 날씨’를 의미하는 단어이지만, 여기서는 ‘좋을 때만’이라는 표현이 강하거든요. 따라서 평소에는(좋을 때는) 내 옆에 있지만, ‘정작 필요할 때에는’ 내 곁에 없는 친구를 뜻하는 표현이 된 것이랍니다.
이 외에도 날씨와 관련된 표현이 정말 많은데, rain(비), snow(눈), wind(바람), fog(안개) 등이 들어간 단어를 통해서는 정말 많은 표현을 배울 수 있답니다. 다음 시간에는 미드에서 참 많이 볼 수 있는 rain check란 표현을 시작으로 비와 눈, 그리고 바람과 안개가 전하는 영어 단어를 통해 멋진 표현들을 배워보도록 하겠습니다.
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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과자나 아이스크림이 먹고 싶을 때 친구들과 사다리 타기 게임을 통해 자신이 내야 할 금액을 정했던 경험이 몇 번씩 있을 것이다. 그런데 사다리 타기 게임을 하면 서로가 절대 겹치는 일이 없이 시작점과 끝점이 정확히 하나씩만 짝지어지는 것을 경험했을 것이다. 왜 그런 것일까? 가로줄과 세로줄이 만나는 점에서 다른 줄로 옮겨가는 것은 다른 줄과 겹치는 것이 아니라 다른 줄과 자리를 맞바꾸는 것이기 때문이다. 즉, 사다리 타기를 수학적으로 표현하면 ‘일대일대응 함수’이며 가로줄을 아무리 더 첨가하더라도 여전히 일대일대응이 된다. 이처럼 사다리 타기 게임 속에는 재미있는 수학적 성질이 많이 숨어있다. 다음 문제를 풀어보면서 사다리 타기 게임에 들어있는 수학적 원리를 발견해보자.
문제1. 왼쪽 그림과 같이 태희가 움직이는 가로나 세로 선의 개수는 3개(세로-가로-세로의 순서)이다. 그러면 지훈, 수현이가 움직이는 사다리 선의 개수는 각각 몇 개인가?문제2. 이 사다리에서 사람들이 움직일 수 있는 선은 세로선 7개, 가로선 2개로 합이 9개이다. 그러나 태희, 지훈, 수현이가 움직인 사다리 선의 개수의 합은 3+3+5=11개이다. 이유는 무엇인가? 또 세로선 3개와 가로선 2개로 이루어진 사다리는 항상 학생들이 움직인 선의 개수의 합이 11개이다. 이유는 무엇인가?
문제3. 사다리 타기의 경우 한 사람이 움직이게 되는 가로, 세로선의 합은 항상 홀수이다. 이유는 무엇인가?
문제4. 오른쪽 그림과 같이 다섯 명이 가로선의 개수가 4개인 사다리를 탄다. 이때 각각의 사람이 움직이는 선의 개수는 5개, 3개, 3개, 3개, 7개로 21개이다. 이때 (5, 3, 3, 3, 7)을 21의 ‘5분할 사다리수’라고 하면 21의 ‘5분할 사다리수’는 모두 몇 개인가? (단 (5, 3, 3, 3, 7)과 (3, 3, 3, 5, 7)은 같은 것으로 본다)<해설>
문제1. 지훈이는 3개, 수현이는 5개의 선을 탄다.
문제2. 세로선은 항상 위에서 아래로 한 번만 움직일 수 있지만, 가로선은 양쪽에서 교차하여 지나가게 되므로 구하는 갯수는 7+2×2=11개이다. 가로선 1개에 의해 양쪽의 세로선이 2개로 분할되어 가로선 1개 그릴 때마다 세로선이 2개씩 늘어나는 셈이다. 그러므로 세로선 3개, 가로선 2개 사다리를 그리면 움직일 수 있는 선의 개수는 가로선 2개와 세로선 7개로 9개다.
문제3. 한 사람이 움직인 선의 개수는 항상 홀수다. 한 사람이 가로선을 n번 탔다고 하면 반드시 세로선은 n+1번 타게 된다. 즉 가로, 세로선의 합은 항상 2n+1개로 홀수다.
문제4. 가로선 4개, 세로선 5개이므로 한 사람이 움직일 수 있는 선의 최대 개수는 9개이다. 이 점을 고려하여 사다리수를 작은 수부터 차례대로 적는다고 가정하면
① (*, *, *, *, 9) 경우 : (1, 1, 1, 9, 9), (1, 1, 3, 7, 9), (1, 1, 5, 5, 9), (1, 3, 3, 5, 9), (3, 3, 3, 3, 9) 5개
② (*, *, *, *, 7) 경우 : (1, 1, 5, 7, 7), (1, 3, 3, 7, 7), (1, 3, 5, 5, 7), (3, 3, 3, 5, 7) 4개
③ (*, *, *, *, 5) 경우 : (1, 5, 5, 5, 5), (3, 3, 5, 5, 5) 2개 ④ (*, *, *, *, 3) 경우 : 존재하지 않는다.그러므로 총 개수는 5+4+2=11(개)이다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 날씨에도 재미있는 단어·표현이 많아요 under the weather, fair-weather friend…
혹시 ‘호랑이 장가가는 날’ 혹은 ‘여우 시집가는 날’이 무슨 뜻인지 아세요? 햇빛이 쨍쨍한 날 내리는 비를 ‘여우비’라고 하는데, 이 ‘여우비’를 위의 표현으로 대신하기도 한답니다. 이처럼 우리말에도 날씨와 관련해서 재밌는 표현이 많은데, 그래서 오늘은 날씨와 관련된 영어 표현에 대해 알아보도록 하겠습니다.우선 날씨를 영어로 weather라고 하는 것은 다 아시지요? 하지만, 이 단어를 초등 수준 영단어라고 얕봤다간 큰일 납니다.
지금도 그렇지만 특히 옛날 사람들에게 날씨란, 인간이 극복해야 할 커다란 자연 현상이라 여겼기 때문에 weather에 ‘악천후’란 뜻도 있습니다. 그래서 under the weather라고 하면, ‘몸이 안 좋다’라는 뜻이 되고, in the weather라고 하면 ‘비바람이 몰아치는 곳’이라는 뜻이 됩니다. 또한 be open to the weather라고 하면 ‘비바람을 맞고 있다’라는 뜻으로 해석할 수 있지요.
심지어 이 weather란 단어를 동사로 쓰면 ‘어려움을 뚫고 나가다’ 혹은 ‘극복하다’의 뜻이 된답니다. 그래서 weather a crisis라고 하면 ‘위기를 넘기다’의 뜻이 되고, 신문이나 뉴스에 나오는 weather the political storm은 ‘정치적 격변을 겪다’라는 뜻이 되는 것이지요. 그리고 우리가 흔히 ‘비가 오나, 눈이 오나’라는 표현은 in all weathers라고 할 수 있답니다. 정말 weather라는 단어를 통해 인생을 표현할 수 있답니다.
그럼 여기서 하나 더 질문 드리도록 하겠습니다. fair-weather friend는 무슨 뜻일까요? 네, 바로 ‘급할 때는 전혀 도움이 되지 않는 친구’를 가리키는 표현이랍니다. 당연히 fair-weather는 ‘좋은 날씨’를 의미하는 단어이지만, 여기서는 ‘좋을 때만’이라는 표현이 강하거든요. 따라서 평소에는(좋을 때는) 내 옆에 있지만, ‘정작 필요할 때에는’ 내 곁에 없는 친구를 뜻하는 표현이 된 것이랍니다.
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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