서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - ‘카발리에리 원리’ 이용해 넓이 구하기
반지름이 r인 원을 x축 위로 한 바퀴 굴렸을 때 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 식(수식 1)과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.
적분을 이용해 문제 풀이를 하면 수식 2이므로 치환적분을 이용하여 구하는 넓이는 수식 3과 같다. 간결하고 멋진 풀이지만 적분을 사용하여 구한다는 자체가 큰 부담이 된다. 이번에는 적분 계산 없이 넓이를 구할 수 있는 방법인 카발리에리(Cavalieri)의 원리를 소개한다. 17세기 이탈리아 수학자 카발리에리는 그의 저서 <불가분량의 기하학>에서 구의 부피를 구하는 원리로 이 원리를 제시하였다. 카발리에리의 원리란 단면의 비가 일정하면 전체의 비도 같다는 것으로 평면도형의 넓이나 공간도형의 부피를 구하는 데에 응용할 수 있다.
두 개의 평면도형[공간도형]이 한 쌍의 평행선[평행면] 사이에 끼어 있고 그 평행선[평행면]들과 임의의 선[면]으로 그 두 평면도형[공간도형]을 잘랐을 때 생기는 두 선분[단면]의 길이[넓이]가 항상 일정한 비를 가지면, 두 평면도형[공간도형]의 넓이[부피]도 또한 그 비를 갖는다.
예를 들어 x축에 평행한 선으로 타원(수식4)과 원(수식5)을 잘라보면 잘린 선분의 길이 비는 a:b이다. 즉 타원에 의해 잘린 설분의 길이가 항상 원에 의해 잘린 선분의 길이의 a/b배이므로 타원의 넓이는 원의 넓이의 a/b배인 a/b × πb²= πab가 된다. 이제 카발리에리의 원리를 이용하여 문제를 풀어보자. 구하는 부분을 반으로 나누어 뒤집어 붙인 상태인 그림 3을 생각해보자.
공통 부분과 원의 넓이가 카발리에리의 원리에 의해 넓이가 같아지는 것을 알 수 있다. 원래 구하려는 넓이는 직사각형의 넓이에서 공통부분의 넓이를 더하면 되므로 2r × πr + πr²= 3πr²이 된다.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - raise a hare…토끼를 들어올린다구요?
raise a hare는 ‘문제를 제기하다’라는 뜻이에요. Easter Bunny는 ‘부활절 토끼’라는 뜻으로 모든 아이들이 좋아하는 캐릭터에요.
오늘을 12지신 중 3번째와 4번째 주인공인 호랑이와 토끼에 관한 표현들에 대해 알아보도록 하겠습니다.
호랑이와 관련된 표현이라면 paper tiger를 들 수 있는데, 말 그대로 ‘종이호랑이’ 즉, 겉보기에만 강해보일 뿐 사실은 전혀 약해빠진 사람을 가리키는 말이랍니다.
반대로 ‘호랑이도 제 말 하면 온다’라는 우리 속담은 영어로는 speak of the devil, (and he will appear)이라고 한답니다. 우리에게 호랑이가 무서움의 상징이었다면 서양에서는 그 자리를 ‘악마’가 차지하고 있네요. 그래도 서양에서도 호랑이는 용맹의 상징이 맞는 것 같습니다. 전주만 들어도 심장이 뛰는 영화 [록키(Rocky)]의 주제곡이 바로 ‘eye of the tiger’이거든요. 다들 기억하시죠? 빰 빰빰빰 빰빰빰….
용맹함을 상징하는 호랑이와는 반대의 이미지를 가진 토끼는 흔히 rabbit이라고 많이 알고 있지만 hare나 bunny라는 단어 역시 많이 쓴답니다. 그래서 hare와 bunny가 들어간 표현도 영어에 많은데요. ‘언청이’라고도 불리는 구순구개열(갈라진 입술)을 cleft lip이라고 한답니다. cleft가 ‘(갈라진) 틈’이란 뜻이거든요. 그런데 이때 harelip이라는 표현을 사용하기도 한답니다. ‘토순’이라고 번역한 사전도 있던데, 말 그대로 ‘토끼 입술’이란 뜻입니다. 그리고 심지어 raise a hare라고 하면 ‘문제를 제기하다.’의 뜻이니 절대 hare라는 단어를 만만히 볼 수만은 없습니다.
하지만 반대로 Easter Bunny(부활절 토끼)는 모든 아이들이 좋아하는 캐릭터입니다.
부활절 날, 착한 아이들에게 달걀(과 요즘은 초콜릿)을 나눠준다는 ‘부활절 토끼’는 성탄절의 산타클로스 할아버지와 함께 아이들에게 정말 인기 만점이랍니다. 빠진 이를 가져가는 대신 선물을 놓고 간다는 ‘이빨 요정(Tooth Fairy)’처럼 12명의 신이 잘못된 영어 습관은 가져가고 멋진 영어 표현을 선물로 주길 저도 함께 기원해봅니다~!!!^^*
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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반지름이 r인 원을 x축 위로 한 바퀴 굴렸을 때 원점과 겹치는 점이 그리는 곡선 식(수식 1)과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.적분을 이용해 문제 풀이를 하면 수식 2이므로 치환적분을 이용하여 구하는 넓이는 수식 3과 같다. 간결하고 멋진 풀이지만 적분을 사용하여 구한다는 자체가 큰 부담이 된다. 이번에는 적분 계산 없이 넓이를 구할 수 있는 방법인 카발리에리(Cavalieri)의 원리를 소개한다. 17세기 이탈리아 수학자 카발리에리는 그의 저서 <불가분량의 기하학>에서 구의 부피를 구하는 원리로 이 원리를 제시하였다. 카발리에리의 원리란 단면의 비가 일정하면 전체의 비도 같다는 것으로 평면도형의 넓이나 공간도형의 부피를 구하는 데에 응용할 수 있다.
두 개의 평면도형[공간도형]이 한 쌍의 평행선[평행면] 사이에 끼어 있고 그 평행선[평행면]들과 임의의 선[면]으로 그 두 평면도형[공간도형]을 잘랐을 때 생기는 두 선분[단면]의 길이[넓이]가 항상 일정한 비를 가지면, 두 평면도형[공간도형]의 넓이[부피]도 또한 그 비를 갖는다.예를 들어 x축에 평행한 선으로 타원(수식4)과 원(수식5)을 잘라보면 잘린 선분의 길이 비는 a:b이다. 즉 타원에 의해 잘린 설분의 길이가 항상 원에 의해 잘린 선분의 길이의 a/b배이므로 타원의 넓이는 원의 넓이의 a/b배인 a/b × πb²= πab가 된다. 이제 카발리에리의 원리를 이용하여 문제를 풀어보자. 구하는 부분을 반으로 나누어 뒤집어 붙인 상태인 그림 3을 생각해보자.공통 부분과 원의 넓이가 카발리에리의 원리에 의해 넓이가 같아지는 것을 알 수 있다. 원래 구하려는 넓이는 직사각형의 넓이에서 공통부분의 넓이를 더하면 되므로 2r × πr + πr²= 3πr²이 된다.■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - raise a hare…토끼를 들어올린다구요?
raise a hare는 ‘문제를 제기하다’라는 뜻이에요. Easter Bunny는 ‘부활절 토끼’라는 뜻으로 모든 아이들이 좋아하는 캐릭터에요.
오늘을 12지신 중 3번째와 4번째 주인공인 호랑이와 토끼에 관한 표현들에 대해 알아보도록 하겠습니다.
호랑이와 관련된 표현이라면 paper tiger를 들 수 있는데, 말 그대로 ‘종이호랑이’ 즉, 겉보기에만 강해보일 뿐 사실은 전혀 약해빠진 사람을 가리키는 말이랍니다.
반대로 ‘호랑이도 제 말 하면 온다’라는 우리 속담은 영어로는 speak of the devil, (and he will appear)이라고 한답니다. 우리에게 호랑이가 무서움의 상징이었다면 서양에서는 그 자리를 ‘악마’가 차지하고 있네요. 그래도 서양에서도 호랑이는 용맹의 상징이 맞는 것 같습니다. 전주만 들어도 심장이 뛰는 영화 [록키(Rocky)]의 주제곡이 바로 ‘eye of the tiger’이거든요. 다들 기억하시죠? 빰 빰빰빰 빰빰빰….
용맹함을 상징하는 호랑이와는 반대의 이미지를 가진 토끼는 흔히 rabbit이라고 많이 알고 있지만 hare나 bunny라는 단어 역시 많이 쓴답니다. 그래서 hare와 bunny가 들어간 표현도 영어에 많은데요. ‘언청이’라고도 불리는 구순구개열(갈라진 입술)을 cleft lip이라고 한답니다. cleft가 ‘(갈라진) 틈’이란 뜻이거든요. 그런데 이때 harelip이라는 표현을 사용하기도 한답니다. ‘토순’이라고 번역한 사전도 있던데, 말 그대로 ‘토끼 입술’이란 뜻입니다. 그리고 심지어 raise a hare라고 하면 ‘문제를 제기하다.’의 뜻이니 절대 hare라는 단어를 만만히 볼 수만은 없습니다.
하지만 반대로 Easter Bunny(부활절 토끼)는 모든 아이들이 좋아하는 캐릭터입니다.
부활절 날, 착한 아이들에게 달걀(과 요즘은 초콜릿)을 나눠준다는 ‘부활절 토끼’는 성탄절의 산타클로스 할아버지와 함께 아이들에게 정말 인기 만점이랍니다. 빠진 이를 가져가는 대신 선물을 놓고 간다는 ‘이빨 요정(Tooth Fairy)’처럼 12명의 신이 잘못된 영어 습관은 가져가고 멋진 영어 표현을 선물로 주길 저도 함께 기원해봅니다~!!!^^*
■ 배시원 선생님배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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