하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - "A가 참이다" 를 증명하는 3가지 방법
세계를 바라보는 방법은 크게 두 가지가 있다. 첫 번째는 세계를 있는 그대로 받아들이는 ‘기계적인 존재’로서 세상을 보는 방법이다. 두 번째는 감각을 통해 알 수 없는 세계를 우리의 상상으로 파악해 보려는 ‘생각하는 존재’로서 세상을 보는 방법이다. 수학 문제를 주어진 공식을 통해 수동적으로 풀다 보면 우리 자신과 수학을 기계적인 존재로 바라보게 된다. 하지만 우리는 자유롭게 상상하는 생각하는 존재로서 수학 문제를 풀고 수학에 접근해야 한다. 우리는 모순을 갖지 않는 두 가지 가능성을 제시할 수 있다.
첫 번째는 수학적으로 해석된 모든 정리가 외부세계와 일치하면 된다. 두 번째는 수학적인 정리가 다른 정리들과 양립이 가능하면 된다. 하지만 우리는 수학적으로 모든 외부세계를 경험해 볼 수는 없다. 그래서 우리는 외부세계를 지금 우리가 살고 있는 세계 대신에 상상할 수 있는 모든 가상세계로 볼 수밖에 없다. 우리는 “A가 참이다”라는 주장을 하기 위해서 여러 가지를 증명해야 한다. 증명에는 여러 가지가 있는데 논리적으로 모순이 없는 것을 살펴보는 ‘논리학적 증명’, 물리학적 법칙과 조화를 이루는지를 살펴보는 ‘물리학적 증명’, 그리고 수학의 법칙들을 침해하는지를 살펴보는 ‘수학적 증명’ 등이 있다.
그런데 수학의 세계를 생각할 때 우리가 접하는 모든 가능한 세계들이 현실 세계와 동일한 수학체계를 갖기 때문에 모든 세계에서 1+1=2이어야 한다고 생각한다. 실용적인 측면에서 보면 모든 수학 이론의 가치는 동일하다. 다리를 건설할 때 우리가 상상 가능한 모든 세계에 적합한 공식을 적용할 필요는 없기 때문이다. 이런 이유 때문에 대부분의 수학자와 철학자들은 우리가 상상 가능한 세계라고 이해하는 것에 속하는 일관성 있는 수학 이론과 논리학이 존재한다고 생각해왔다. 그러나 실용성을 벗어나서 우리의 현실세계와 일치하지 않는 기하학들도 있을 수 있다. 예를 들면 삼각형의 내각의 합은 유클리트 기하학에서만 180도이지 타원 기하학에서는 더 크고, 쌍곡선 기하학에서는 더 작다. 그래서 위대한 수학자 가우스는 우리가 사는 우주를 과연 어떤 모습의 기하학이 지배하는지를 알아보려고 세 개의 높은 산 정상으로 이루어진 거대한 삼각형의 내각의 합을 재려고 했고, 그 뒤 100년 후 아인슈타인은 우주 공간 자체에는 어떤 정해진 기하학도 존재하지 않는다는 일반 상대성 이론을 제시했다. 우리에게 익숙한 1, 2, 3과 같은 수들이 우리의 상상 속에 있는 모든 가능한 세계에서 동일한 법칙을 반드시 따라야 하는 것이 아닐 수도 있다는 엉뚱한 생각을 해보게 된다.
수학은 논리적인 학문이다. 하지만 수학은 미술 시간에 상상화를 그리듯이 우리가 상상할 수 있는 세계를 표현하는 또 다른 방법이다. 그러므로 수학은 우리가 살아가는 현실을 가장 잘 설명하는 도구이면서 동시에 우리의 상상력을 자극하는 도구가 된다. 수학을 공부해야 하는 이유이기도 하다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
민사고 고문수 쌤의 신나는 영어여행 - 영어공부 로드맵을 짜라!
필자의 영어교육 경험을 비추어 볼 때 한국 학생이 영어를 잘하려면 다음 3가지가 중요한 것 같다. 첫째는 분명한 영어공부의 목표, 둘째는 자신에게 맞는 영어공부 로드맵, 셋째는 구체적계획과 실천력이다. 먼저 영어공부의 목표에 대해 논한다. 너무도 중요한 사안임에도 많은 학생이 영어공부 목표가 없거나 설령 있다 하더라도 모호하다는 것을 느낀다. 그냥 잘했으면 좋겠다는 말속에 잘한다는 기준이 무엇인지 모호하다 보니 영어공부의 열정을 느낄 수 없다. 화살이 목표지점을 겨누지 않고 어떻게 활시위를 떠나 목표지점을 맞출 수 있는가. 목표지점을 겨눠야 한다. 겨누어도 될까말까한데 하물며 겨누지 않고 목표지점에 다다를 수 있을까. 물론 영어권국가에서 생활할 경우는 예외다. 목표를 겨누지 않아도 주변이 영어사용 환경이다 보니 자연스럽게 영어를 잘할 수 있다. 그래서 미국에서는 거지도 영어를 잘한다(?). 물론 고급 글쓰기나 말하기 수준은 아니다.
영어공부의 목표는 각자의 진로에 따라 다를 수 있다. 그러나 개인적으로 이스라엘이나 싱가포르, 홍콩 같은 세계적 경쟁력을 갖춘 국가를 볼 때 한국 학생들도 이중언어를 사용할 수 있는 아이들이 되는 것을 목표로 정해보고 싶다. 단 고교 때까지, 즉 대학 입학 전까지 영어원서를 읽을 수 있고 교수들의 영어강의를 알아듣고 질의할 수 있으며, 리포트를 영어로 작성할 정도가 됐으면 좋겠다. 대한민국의 모든 학생이 바라는 바라고 확신한다. 초등학교 때부터 고교 졸업 때까지 10년을 영어공부를 했는데 이 정도는 할 수 있어야 하는거 아닌가? 이렇게 하기 위해서 영어 공부 하는 거 아닌가? 한국 영어교육의 목표는 수능 1등급에 맞춰져있다. 수능 1등급 학생은 고교 졸업 시 저 정도의 영어를 하는가? 대학에서의 필자의 경험으로는 아니다. 희망을 꺾고싶어 하는 말이 아니다. 사실을 직시하기를 바라기 때문이다. 현실을 직시해야만 제대로 된 목표를 정할 수 있기 때문이다. 수능 1등급은 영어공부의 자연적 부산물 정도로 생각하자.
영어공부의 목표는 앞서 표현했듯이 ‘고교 때까지 즉, 대학 입학 전까지 영어원서를 읽을 수 있고 교수들의 영어강의를 알아듣고 질문할 수 있으며, 리포트를 영어로 작성할 수준’으로 정하자!!! 대학 가서 영어학원 다니고, 취직 준비 한다고 영어학원 다니고, 노후에 해외여행 간다고 영어학원 다니고 하는 경우는 영어가 인생의 수단이 아니라 목적이 되어버린 것으로 영어노예가 된 것 아닌가?
영어가 목적이 아니라 수단으로서 역할을 하려면 고교 때까지 어느 정도 정리돼야 한다. 만약 안 된다면 대학 때까지라도 끝내야 한다. 그러나 대부분의 대학교재들이 영어권 국가 교재임을 감안하면 앞서 언급한 대로 고교 때까지 준비한 학생은 그만큼 유리해진다. 그러면 저런 실력을 측정할 수 있는 영어시험은 없는가? 비용문제가 있긴 하지만 개인적으로 iBT토플점수를 글로벌스탠더드로 정한다. 왜냐하면 세계가 인정하니까! 고교 때까지 iBT토플 기준 60~80 정도의 수준으로 준비해보자. 고교 때까지 저 정도 되면 미 명문 주립대(오클라호마주립대, 텍사스주립대, 워싱턴주립대, 위스콘신주립대 등)에 입학할 수 있다. 참고로 필자는 친미도 반미도 아니다. 다만 학생들 개개인의 진로 기회 확대와 국가와 인류의 미래를 생각할 뿐이다. 학교공부 열심히 하고 독서와 영어만 잘해도 세계적인 대학에 간다!!!(www.univro.kr 참조) 단, 비용문제로 인해 모의 토플을 한번 보기를 권한다. 자신의 수준을 테스트 한번 해보자. 그런 후에 영어공부 로드맵을 구체적으로 한번 설계해보자.
고문수
고문수 선생님은 현재 글로벌대학 컨설팅업체 유니브로 대표이자 영어전문 컨설팅회사 (주)굿멘토스 대표이사를 맡고 있다. 민사고 영어과 수석교사, 민사고 영어토론회 디렉터, 중앙일보 칼럼니스트 등을 지냈다. 영국 워릭대에서 국제정치학 석사 학위를 받았으며 저서로는 ‘대입혁명’ 등이 있다.
세계를 바라보는 방법은 크게 두 가지가 있다. 첫 번째는 세계를 있는 그대로 받아들이는 ‘기계적인 존재’로서 세상을 보는 방법이다. 두 번째는 감각을 통해 알 수 없는 세계를 우리의 상상으로 파악해 보려는 ‘생각하는 존재’로서 세상을 보는 방법이다. 수학 문제를 주어진 공식을 통해 수동적으로 풀다 보면 우리 자신과 수학을 기계적인 존재로 바라보게 된다. 하지만 우리는 자유롭게 상상하는 생각하는 존재로서 수학 문제를 풀고 수학에 접근해야 한다. 우리는 모순을 갖지 않는 두 가지 가능성을 제시할 수 있다.
첫 번째는 수학적으로 해석된 모든 정리가 외부세계와 일치하면 된다. 두 번째는 수학적인 정리가 다른 정리들과 양립이 가능하면 된다. 하지만 우리는 수학적으로 모든 외부세계를 경험해 볼 수는 없다. 그래서 우리는 외부세계를 지금 우리가 살고 있는 세계 대신에 상상할 수 있는 모든 가상세계로 볼 수밖에 없다. 우리는 “A가 참이다”라는 주장을 하기 위해서 여러 가지를 증명해야 한다. 증명에는 여러 가지가 있는데 논리적으로 모순이 없는 것을 살펴보는 ‘논리학적 증명’, 물리학적 법칙과 조화를 이루는지를 살펴보는 ‘물리학적 증명’, 그리고 수학의 법칙들을 침해하는지를 살펴보는 ‘수학적 증명’ 등이 있다.
그런데 수학의 세계를 생각할 때 우리가 접하는 모든 가능한 세계들이 현실 세계와 동일한 수학체계를 갖기 때문에 모든 세계에서 1+1=2이어야 한다고 생각한다. 실용적인 측면에서 보면 모든 수학 이론의 가치는 동일하다. 다리를 건설할 때 우리가 상상 가능한 모든 세계에 적합한 공식을 적용할 필요는 없기 때문이다. 이런 이유 때문에 대부분의 수학자와 철학자들은 우리가 상상 가능한 세계라고 이해하는 것에 속하는 일관성 있는 수학 이론과 논리학이 존재한다고 생각해왔다. 그러나 실용성을 벗어나서 우리의 현실세계와 일치하지 않는 기하학들도 있을 수 있다. 예를 들면 삼각형의 내각의 합은 유클리트 기하학에서만 180도이지 타원 기하학에서는 더 크고, 쌍곡선 기하학에서는 더 작다. 그래서 위대한 수학자 가우스는 우리가 사는 우주를 과연 어떤 모습의 기하학이 지배하는지를 알아보려고 세 개의 높은 산 정상으로 이루어진 거대한 삼각형의 내각의 합을 재려고 했고, 그 뒤 100년 후 아인슈타인은 우주 공간 자체에는 어떤 정해진 기하학도 존재하지 않는다는 일반 상대성 이론을 제시했다. 우리에게 익숙한 1, 2, 3과 같은 수들이 우리의 상상 속에 있는 모든 가능한 세계에서 동일한 법칙을 반드시 따라야 하는 것이 아닐 수도 있다는 엉뚱한 생각을 해보게 된다.
수학은 논리적인 학문이다. 하지만 수학은 미술 시간에 상상화를 그리듯이 우리가 상상할 수 있는 세계를 표현하는 또 다른 방법이다. 그러므로 수학은 우리가 살아가는 현실을 가장 잘 설명하는 도구이면서 동시에 우리의 상상력을 자극하는 도구가 된다. 수학을 공부해야 하는 이유이기도 하다.
조계성조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
민사고 고문수 쌤의 신나는 영어여행 - 영어공부 로드맵을 짜라!
필자의 영어교육 경험을 비추어 볼 때 한국 학생이 영어를 잘하려면 다음 3가지가 중요한 것 같다. 첫째는 분명한 영어공부의 목표, 둘째는 자신에게 맞는 영어공부 로드맵, 셋째는 구체적계획과 실천력이다. 먼저 영어공부의 목표에 대해 논한다. 너무도 중요한 사안임에도 많은 학생이 영어공부 목표가 없거나 설령 있다 하더라도 모호하다는 것을 느낀다. 그냥 잘했으면 좋겠다는 말속에 잘한다는 기준이 무엇인지 모호하다 보니 영어공부의 열정을 느낄 수 없다. 화살이 목표지점을 겨누지 않고 어떻게 활시위를 떠나 목표지점을 맞출 수 있는가. 목표지점을 겨눠야 한다. 겨누어도 될까말까한데 하물며 겨누지 않고 목표지점에 다다를 수 있을까. 물론 영어권국가에서 생활할 경우는 예외다. 목표를 겨누지 않아도 주변이 영어사용 환경이다 보니 자연스럽게 영어를 잘할 수 있다. 그래서 미국에서는 거지도 영어를 잘한다(?). 물론 고급 글쓰기나 말하기 수준은 아니다.
영어공부의 목표는 각자의 진로에 따라 다를 수 있다. 그러나 개인적으로 이스라엘이나 싱가포르, 홍콩 같은 세계적 경쟁력을 갖춘 국가를 볼 때 한국 학생들도 이중언어를 사용할 수 있는 아이들이 되는 것을 목표로 정해보고 싶다. 단 고교 때까지, 즉 대학 입학 전까지 영어원서를 읽을 수 있고 교수들의 영어강의를 알아듣고 질의할 수 있으며, 리포트를 영어로 작성할 정도가 됐으면 좋겠다. 대한민국의 모든 학생이 바라는 바라고 확신한다. 초등학교 때부터 고교 졸업 때까지 10년을 영어공부를 했는데 이 정도는 할 수 있어야 하는거 아닌가? 이렇게 하기 위해서 영어 공부 하는 거 아닌가? 한국 영어교육의 목표는 수능 1등급에 맞춰져있다. 수능 1등급 학생은 고교 졸업 시 저 정도의 영어를 하는가? 대학에서의 필자의 경험으로는 아니다. 희망을 꺾고싶어 하는 말이 아니다. 사실을 직시하기를 바라기 때문이다. 현실을 직시해야만 제대로 된 목표를 정할 수 있기 때문이다. 수능 1등급은 영어공부의 자연적 부산물 정도로 생각하자. 영어공부의 목표는 앞서 표현했듯이 ‘고교 때까지 즉, 대학 입학 전까지 영어원서를 읽을 수 있고 교수들의 영어강의를 알아듣고 질문할 수 있으며, 리포트를 영어로 작성할 수준’으로 정하자!!! 대학 가서 영어학원 다니고, 취직 준비 한다고 영어학원 다니고, 노후에 해외여행 간다고 영어학원 다니고 하는 경우는 영어가 인생의 수단이 아니라 목적이 되어버린 것으로 영어노예가 된 것 아닌가?
영어가 목적이 아니라 수단으로서 역할을 하려면 고교 때까지 어느 정도 정리돼야 한다. 만약 안 된다면 대학 때까지라도 끝내야 한다. 그러나 대부분의 대학교재들이 영어권 국가 교재임을 감안하면 앞서 언급한 대로 고교 때까지 준비한 학생은 그만큼 유리해진다. 그러면 저런 실력을 측정할 수 있는 영어시험은 없는가? 비용문제가 있긴 하지만 개인적으로 iBT토플점수를 글로벌스탠더드로 정한다. 왜냐하면 세계가 인정하니까! 고교 때까지 iBT토플 기준 60~80 정도의 수준으로 준비해보자. 고교 때까지 저 정도 되면 미 명문 주립대(오클라호마주립대, 텍사스주립대, 워싱턴주립대, 위스콘신주립대 등)에 입학할 수 있다. 참고로 필자는 친미도 반미도 아니다. 다만 학생들 개개인의 진로 기회 확대와 국가와 인류의 미래를 생각할 뿐이다. 학교공부 열심히 하고 독서와 영어만 잘해도 세계적인 대학에 간다!!!(www.univro.kr 참조) 단, 비용문제로 인해 모의 토플을 한번 보기를 권한다. 자신의 수준을 테스트 한번 해보자. 그런 후에 영어공부 로드맵을 구체적으로 한번 설계해보자.
고문수고문수 선생님은 현재 글로벌대학 컨설팅업체 유니브로 대표이자 영어전문 컨설팅회사 (주)굿멘토스 대표이사를 맡고 있다. 민사고 영어과 수석교사, 민사고 영어토론회 디렉터, 중앙일보 칼럼니스트 등을 지냈다. 영국 워릭대에서 국제정치학 석사 학위를 받았으며 저서로는 ‘대입혁명’ 등이 있다.
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