하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 아리스토텔레스의 바퀴, ‘모든 원의 둘레는 같다?’
우리가 거의 매일 이용하고 있는 자동차에는 그 차가 움직인 거리를 나타내는 계기판이 있다. 계기판에 나타나는 거리는 자동차 바퀴의 회전수를 이용하여 구해진다. 그런데 여기서 흥미로운 문제를 하나 생각할 수 있다. 다음 그림과 같이 중심이 같고 반지름이 다른 두 개의 원을 평면 위에서 1회전 시켜보자. 그림은 평면에 접해있던 큰 원위의 점 A가 한 바퀴 돌아서 다시 평면 위의 점 B로 옮겨 간 모습을 나타낸 것이다. 이때, 선분 AB의 길이는 큰 원의 둘레와 같다. 그런데 큰 원이 1회전하는 동안 작은 원도 정확하게 1회전했으므로 선분 CD의 길이는 작은 원의 둘레와 같다. 그림에서 보는 것과 같이 AB=CD이므로 큰 바퀴와 작은 바퀴의 둘레의 길이는 같아 보인다. 그렇다면 모든 원의 둘레는 같은 것일까? 모든 자동차는 바퀴의 반지름의 크기에 관계없이 바퀴의 회전수가 같으면 항상 같은 거리를 움직이게 되는 것일까? 어디가 잘못된 것일까?
그 해답은 다음 그림과 같이 다각형이 이동한 흔적을 이용하여 생각하면 쉽게 찾을 수 있다.
그림을 잘 보면 큰 정사각형은 변이 직선 AA′ 에 밀착된 상태를 유지하며 움직이고 있으나 작은 정사각형의 변은 직선 EE′에 밀착된 상태를 유지하지 않고 군데군데 점프하면서 움직이고 있다. 즉 □EFGH가 굴러 □E′F′G′H′로 옮겨 가는 동안 4개의 점선으로 표시한 점프하는 부분이 생기게 된다. 이 점프하는 구간의 길이의 합이 바로 큰 정사각형이 굴러간 거리와 작은 정사각형이 굴러간 거리의 차이다. 같은 방법으로 정오각형을 한 바퀴 굴리면 5개의 점프하는 구간이 생기고 정n각형을 굴리면 모두 n개의 점프하는 구간이 생기게 된다. 변의 수를 무한히 늘려 다각형을 원에 가깝게 만들어 한 바퀴 돌리면 이 다각형은 무한히 점프하면서 한 바퀴를 돌게 된다. 즉, 두 동심원이 한 바퀴 돌아갈 때 내부의 작은 원은 쉴 새 없이 점프하면서 돌아간다.
위의 그림에서 큰 원은 선분 AB 위를 밀착된 상태로 굴러가므로 큰 원의 둘레와 선분 AB의 길이가 같다. 하지만 작은 원은 선분 CD 위를 무한히 점프하면서(미끄러지면서) 굴러가므로 큰 원의 둘레와 선분 AB의 길이가 같다. 하지만 작은 원은 선분 CD 위를 무한히 점프하면서(미끄러지면서) 굴러가게 되므로 작은 원의 둘레는 선분 CD의 길이와 같지 않다. 이제 변의 수를 무한히 많이 늘려 다각형을 원에 가깝게 만들면 작은 바퀴가 지나간 선분 속에는 이 다각형의 무한개의 변과 무한개의 ‘점프하는 부분’이 들어있다. 따라서 작은 바퀴의 둘레와 큰 바퀴의 둘레는 이 무한히 많은 ‘점프하는 부분’을 합해놓은 만큼 차이가 나는 것이다. 다시 말해서 큰 바퀴가 굴러가는 동안 작은 바퀴는 눈에 띄지 않게 점프하면서 굴러간 것이다. 이것을 아리스토텔레스가 설명한 적이 있어서 아리스토텔레스의 바퀴라고 부른다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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민사고 고문수 쌤의 신나는 영어여행 - 영어공부를 잘하려면…“어휘실력이 생명이다”
미국 대학생들의 평균어휘 구사력은 약 10만 단어라고 한다. 그렇다면 한국 대학생들은 어느 정도의 어휘를 구사할 수 있을까? 1만? 2만? 글쎄 필자는 그 정도가 될지도 확신할 수 없다. 어휘 수도 문제지만 어휘를 활용하는 능력은 더 큰 문제다. 영어는 다의어(多意語·한 단어가 여러 개의 뜻을 가진다는 의미)이기 때문에 한 단어가 여러 개의 의미를 지니는 경우가 많다. 예를 들면 아래의 ‘wear’의 경우를 보자.
wear clothes (옷을 입다) wear shoes (신발을 신다) wear glasses (안경을 끼다)
wear socks (양말을 신다) wear one’s seat belt (안전벨트를 차다)
wear gloves (장갑을 끼다) wear one’s hat (모자를 쓰다)
위의 예문에서처럼 ‘wear’의 뜻을 ‘입다’라고만 이해할 경우 나머지 표현을 말로 표현하거나 글로 쓸 때 어려움을 느끼게 된다. 그렇다고 사전을 보면서 여러 개의 뜻을 한번에 모두 외우는 것은 보통 힘든 게 아니다. 한 개의 뜻도 외우기도 버거운데 말이다. 어떻게 하면 좋을까? 그래서 필자는 처음부터 모두 외우기보다 처음에는 가장 주요한 의미만 외우고 나머지 뜻은 구(2개 이상의 어휘로 구성된 의미단위)나 문장 속에서 다양하게 표현되는 경우를 읽으며 이런 뜻으로도 사용되는구나라고 생각했으면 한다! 다양한 문장 속에서 체득돼야만 결국 사용할 수 있기 때문에 지금 당장 너무 큰 욕심을 부리지 않았으면 한다.
bear twins (쌍둥이를 낳다) bear fruit (열매를 맺다) bear a burden (무거운 짐을 지다)
bear punishment (벌을 받다) bear the expense (비용을 부담하다)
bear the blame (비난을 받다) bear responsibility (책임을 지다)
위의 예시처럼 ‘bear’의 경우도 ‘낳다’만 외우고 끝내지 말고 다양한 사용예들을 읽으며 근본적 의미를 이해하면 스피킹이나 글쓰기에 많은 도움이 된다. 아울러 한 가지 제시하면 ‘wear’나 ‘bear’의 경우에서 뜻이 다양해 보이지만 근본적으로 같은 의미라는 사실을 알 수 있다. ‘wear’의 경우 우리 몸의 일부를 덮는 경우에 모두 해당됨을 알 수 있다. 손 발 허리 머리 등 신체의 일부를 덮을 경우 ‘wear’를 사용하고 ‘bear’의 경우 힘든 일을 떠맡는 경우에 해당된다. 아이를 낳는것도, 열매를 맺는 것도, 무거운 짐을 지는 것도, 벌을 받는 것도, 비용 부담을 지는 것도, 비난을 받는 것도, 책임을 지는 것도, 모두 힘든 일임을 알 수 있다.
고문수
고문수 선생님은 현재 글로벌대학 컨설팅업체 유니브로 대표이자 영어전문 컨설팅회사 (주)굿멘토스 대표이사를 맡고 있다. 민사고 영어과 수석교사, 민사고 영어토론회 디렉터, 중앙일보 칼럼니스트 등을 지냈다. 영국 워릭대에서 국제정치학 석사 학위를 받았으며 저서로는 ‘대입혁명’ 등이 있다.
우리가 거의 매일 이용하고 있는 자동차에는 그 차가 움직인 거리를 나타내는 계기판이 있다. 계기판에 나타나는 거리는 자동차 바퀴의 회전수를 이용하여 구해진다. 그런데 여기서 흥미로운 문제를 하나 생각할 수 있다. 다음 그림과 같이 중심이 같고 반지름이 다른 두 개의 원을 평면 위에서 1회전 시켜보자. 그림은 평면에 접해있던 큰 원위의 점 A가 한 바퀴 돌아서 다시 평면 위의 점 B로 옮겨 간 모습을 나타낸 것이다. 이때, 선분 AB의 길이는 큰 원의 둘레와 같다. 그런데 큰 원이 1회전하는 동안 작은 원도 정확하게 1회전했으므로 선분 CD의 길이는 작은 원의 둘레와 같다. 그림에서 보는 것과 같이 AB=CD이므로 큰 바퀴와 작은 바퀴의 둘레의 길이는 같아 보인다. 그렇다면 모든 원의 둘레는 같은 것일까? 모든 자동차는 바퀴의 반지름의 크기에 관계없이 바퀴의 회전수가 같으면 항상 같은 거리를 움직이게 되는 것일까? 어디가 잘못된 것일까? 그 해답은 다음 그림과 같이 다각형이 이동한 흔적을 이용하여 생각하면 쉽게 찾을 수 있다.
그림을 잘 보면 큰 정사각형은 변이 직선 AA′ 에 밀착된 상태를 유지하며 움직이고 있으나 작은 정사각형의 변은 직선 EE′에 밀착된 상태를 유지하지 않고 군데군데 점프하면서 움직이고 있다. 즉 □EFGH가 굴러 □E′F′G′H′로 옮겨 가는 동안 4개의 점선으로 표시한 점프하는 부분이 생기게 된다. 이 점프하는 구간의 길이의 합이 바로 큰 정사각형이 굴러간 거리와 작은 정사각형이 굴러간 거리의 차이다. 같은 방법으로 정오각형을 한 바퀴 굴리면 5개의 점프하는 구간이 생기고 정n각형을 굴리면 모두 n개의 점프하는 구간이 생기게 된다. 변의 수를 무한히 늘려 다각형을 원에 가깝게 만들어 한 바퀴 돌리면 이 다각형은 무한히 점프하면서 한 바퀴를 돌게 된다. 즉, 두 동심원이 한 바퀴 돌아갈 때 내부의 작은 원은 쉴 새 없이 점프하면서 돌아간다.
위의 그림에서 큰 원은 선분 AB 위를 밀착된 상태로 굴러가므로 큰 원의 둘레와 선분 AB의 길이가 같다. 하지만 작은 원은 선분 CD 위를 무한히 점프하면서(미끄러지면서) 굴러가므로 큰 원의 둘레와 선분 AB의 길이가 같다. 하지만 작은 원은 선분 CD 위를 무한히 점프하면서(미끄러지면서) 굴러가게 되므로 작은 원의 둘레는 선분 CD의 길이와 같지 않다. 이제 변의 수를 무한히 많이 늘려 다각형을 원에 가깝게 만들면 작은 바퀴가 지나간 선분 속에는 이 다각형의 무한개의 변과 무한개의 ‘점프하는 부분’이 들어있다. 따라서 작은 바퀴의 둘레와 큰 바퀴의 둘레는 이 무한히 많은 ‘점프하는 부분’을 합해놓은 만큼 차이가 나는 것이다. 다시 말해서 큰 바퀴가 굴러가는 동안 작은 바퀴는 눈에 띄지 않게 점프하면서 굴러간 것이다. 이것을 아리스토텔레스가 설명한 적이 있어서 아리스토텔레스의 바퀴라고 부른다.
조계성조계성 선생님은 현재 하나고 수학 교사다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
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민사고 고문수 쌤의 신나는 영어여행 - 영어공부를 잘하려면…“어휘실력이 생명이다”
미국 대학생들의 평균어휘 구사력은 약 10만 단어라고 한다. 그렇다면 한국 대학생들은 어느 정도의 어휘를 구사할 수 있을까? 1만? 2만? 글쎄 필자는 그 정도가 될지도 확신할 수 없다. 어휘 수도 문제지만 어휘를 활용하는 능력은 더 큰 문제다. 영어는 다의어(多意語·한 단어가 여러 개의 뜻을 가진다는 의미)이기 때문에 한 단어가 여러 개의 의미를 지니는 경우가 많다. 예를 들면 아래의 ‘wear’의 경우를 보자.wear clothes (옷을 입다) wear shoes (신발을 신다) wear glasses (안경을 끼다)
wear socks (양말을 신다) wear one’s seat belt (안전벨트를 차다)
wear gloves (장갑을 끼다) wear one’s hat (모자를 쓰다)
위의 예문에서처럼 ‘wear’의 뜻을 ‘입다’라고만 이해할 경우 나머지 표현을 말로 표현하거나 글로 쓸 때 어려움을 느끼게 된다. 그렇다고 사전을 보면서 여러 개의 뜻을 한번에 모두 외우는 것은 보통 힘든 게 아니다. 한 개의 뜻도 외우기도 버거운데 말이다. 어떻게 하면 좋을까? 그래서 필자는 처음부터 모두 외우기보다 처음에는 가장 주요한 의미만 외우고 나머지 뜻은 구(2개 이상의 어휘로 구성된 의미단위)나 문장 속에서 다양하게 표현되는 경우를 읽으며 이런 뜻으로도 사용되는구나라고 생각했으면 한다! 다양한 문장 속에서 체득돼야만 결국 사용할 수 있기 때문에 지금 당장 너무 큰 욕심을 부리지 않았으면 한다.
bear twins (쌍둥이를 낳다) bear fruit (열매를 맺다) bear a burden (무거운 짐을 지다)
bear punishment (벌을 받다) bear the expense (비용을 부담하다)
bear the blame (비난을 받다) bear responsibility (책임을 지다)
위의 예시처럼 ‘bear’의 경우도 ‘낳다’만 외우고 끝내지 말고 다양한 사용예들을 읽으며 근본적 의미를 이해하면 스피킹이나 글쓰기에 많은 도움이 된다. 아울러 한 가지 제시하면 ‘wear’나 ‘bear’의 경우에서 뜻이 다양해 보이지만 근본적으로 같은 의미라는 사실을 알 수 있다. ‘wear’의 경우 우리 몸의 일부를 덮는 경우에 모두 해당됨을 알 수 있다. 손 발 허리 머리 등 신체의 일부를 덮을 경우 ‘wear’를 사용하고 ‘bear’의 경우 힘든 일을 떠맡는 경우에 해당된다. 아이를 낳는것도, 열매를 맺는 것도, 무거운 짐을 지는 것도, 벌을 받는 것도, 비용 부담을 지는 것도, 비난을 받는 것도, 책임을 지는 것도, 모두 힘든 일임을 알 수 있다.
고문수고문수 선생님은 현재 글로벌대학 컨설팅업체 유니브로 대표이자 영어전문 컨설팅회사 (주)굿멘토스 대표이사를 맡고 있다. 민사고 영어과 수석교사, 민사고 영어토론회 디렉터, 중앙일보 칼럼니스트 등을 지냈다. 영국 워릭대에서 국제정치학 석사 학위를 받았으며 저서로는 ‘대입혁명’ 등이 있다.
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