하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 빵 한 조각으로 평생 배부르게 먹기?
빵 한 조각만으로도 평생 배부르게 먹을 수 있는 비법이 있을까? 위 그림에서 넓이 110㎠인 직사각형 모양의 빵조각에서 귀퉁이의 직각삼각형 모양 두 개를 잘라내어 먹어버렸으니까 남아 있는 빵의 넓이는 109㎠가 되어야 하는데 도로 110㎠인 직사각형이 되어버렸다. 과연 가능한 일인가? 물론 있을 수 없는 일이다. 잘못된 이유를 발견하지 못했다면 이와 비슷한 다음 문제를 통해 대신 답을 찾아보기 바란다.
오른쪽 위 그림과 같이 8×8=64 크기의 정사각형을 네 부분으로 잘라 아래의 그림처럼 이어 붙였더니 13×5=65의 직사각형이 되었다. 분할했던 조각을 다시 맞춘 것이니 넓이는 달라질 수 없는데 직사각형의 넓이는 정사각형에 비해 넓이가 1만큼 커져버렸다. 이게 어떻게 된 일일까?
얼핏 보면 삼각형과 사다리꼴의 변이 일직선 위에 놓여 있는 것처럼 보인다. 하지만 삼각형과 사다리꼴의 변의 기울기를 구해보면 각각 3/8 과 2/5 로 서로 달라 두 변이 일직선상에 놓일 수 없음을 알 수 있다. 사실 정확하게 그림을 그리면 가운데 틈이 생기는데 이 부분의 넓이가 바로 1이다. 이처럼 어떤 도형을 분할했다가 다시 조합했을 때 넓이가 달라지는 것처럼 보이는 현상을 도형분할의 역설(Dissection Paradox)이라고 한다.
이런 종류의 문제는 생각보다 쉽게 만들 수 있는데 피보나치수열의 성질을 이용하면 어렵지 않게 해결된다. 각 도형의 변의 기울기를 결정하는데 사용된 변의 길이는 2,3,5,8,13 으로 피보나치수이다. 변의 기울기가 되는 3/8, 5/13, 8/21 이 모두 비슷한 크기가 되어 눈속임을 하는데 아주 적절하다. 또 피보나치수 5, 8, 13 에서 가운데 수로 만든 정사각형의 넓이 8×8=64는 양 옆의 수로 만든 직사각형의 넓이 13×5=65와 비교하여 1 만큼 차이가 나는데 이것은 피보나치수열에서 일반적으로 성립하는 성질이
다. 즉, 자연수에 대해 수식 1이 성립한다. 이러한 성질을 이용한다면 넓이가 1만큼 차이나는 정사각형과 직사각형의 조합을 쉽게 만들 수 있을 것이다. 여러분도 직접 문제를 만들어보길 바란다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 이름으로 배우는 영어 (2) 우리나라 ‘홍길동’은 영어로 ‘hancock’
도박을 너무 좋아한 나머지 빵 사이에 고기와 채소를 함께 넣고 먹기 시작한 ‘샌드위치 백작’의 이름에서 [샌드위치]가 유래된 이야기나 [단두대]를 만든 의사 ‘길로틴’의 이름에서 그 단어가 유래된 것처럼 우리가 쓰는 단어 중에 사람에 이름에서 따온 단어들이 꽤 많습니다. 서양 이름들은 성경 인물의 이름을 차용한 경우가 많은데, 대표적으로 John은 ‘요한’이란 성경 인물에서 따온 이름입니다. 그래서 ‘세례 요한’을 John the baptist라고 하는 것이지요.
그런데 최초의 수세식 변기를 고안한 사람 이름도 John이기 때문에 John에 ‘화장실’이란 뜻도 있고 심지어 John School이란 단어는 ‘성매매 재범방지 교육 프로그램’이란 뜻으로도 쓰입니다.
이런 이름이 붙은 까닭은 성매매로 체포된 대부분의 남성이 자신의 이름을 가장 흔한 이름 중 하나인 John이라고 한 것에서 유래된 것인데, 그래서 ‘신원 미확인 남성’을 John Doe라고 합니다. 같은 이유로 ‘신원 미확인 여성’을 Jane Doe라고 하는데, CSI 같은 미드에서 흔히 들을 수 있는 단어들입니다.
성경에서 차용한 이름 중 예수님의 수제자 베드로(Peter)를 빼놓을 수 없지요. 아마, 교회 다니시는 분들은 잘 아시겠지만, 예수님이 반석 위에 교회를 세우시겠다는 의미로 이 이름을 부여하신 것인데 바로 petro가 ‘돌’이란 뜻을 가지고 있기 때문입니다. 그래서 ‘석유’를 petroleum이라고 하는데 이 단어는 영국과 호주, 그리고 캐나다 등지에서는 gas station(주유소)의 의미로도 많이 쓰입니다. Boycott(불매 운동)란 단어 역시 악덕 지주였던 boycott 횡포에 대항해서 소작농들이 거래를 거부한 데서 유래한 표현이고, 우리가 미술에서 자주 쓰는 ‘실루엣’이란 표현도 극단적 절약을 강조하여, 초상화도 검은색만이면 충분하다고 주장한 프랑스의 재무상 silhouette에서 나온 단어입니다.
끝으로, 우리도 서명란에 ‘홍길동’이란 표현을 자주 쓰는데 신기하게도 영어에도 똑같은 표현이 있습니다. 바로 hancock라는 단어인데 독립 선언서에 최초로 서명한 John Hancock의 이름에서 따온 단어입니다.(참고로, 윌 스미스 주연의 영화 ‘핸콕’ 참 재밌습니다~^^*)
생각해보면 우리나라에도 사람의 이름에서 따온 단어들이 많은데 ‘명태’는 ‘명천지방 태서방’이 그 물고기를 잡아 임금님께 올렸다는 이야기에서, ‘임연수’ 역시 잡은 사람 이름인 ‘임연수’에서 유래되었으며, ‘숙주나물’ 또한 쉽게 상하는 것이 변절자 ‘신숙주’와 닮아 붙여졌다는 이야기처럼 언어는 늘 역사와 사람들의 삶과 함께하는 것 같습니다.
영어 공부를 할 때마다 김춘수님의 ‘꽃’이라는 시가 자주 떠오르는데 단어 역시 내가 [이름]을 불러줄 때 비로소 나에게 하나의 ‘꽃’으로, 또 ‘의미’로 다가오는 것 같습니다~^^*
배시원
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
빵 한 조각만으로도 평생 배부르게 먹을 수 있는 비법이 있을까? 위 그림에서 넓이 110㎠인 직사각형 모양의 빵조각에서 귀퉁이의 직각삼각형 모양 두 개를 잘라내어 먹어버렸으니까 남아 있는 빵의 넓이는 109㎠가 되어야 하는데 도로 110㎠인 직사각형이 되어버렸다. 과연 가능한 일인가? 물론 있을 수 없는 일이다. 잘못된 이유를 발견하지 못했다면 이와 비슷한 다음 문제를 통해 대신 답을 찾아보기 바란다.
오른쪽 위 그림과 같이 8×8=64 크기의 정사각형을 네 부분으로 잘라 아래의 그림처럼 이어 붙였더니 13×5=65의 직사각형이 되었다. 분할했던 조각을 다시 맞춘 것이니 넓이는 달라질 수 없는데 직사각형의 넓이는 정사각형에 비해 넓이가 1만큼 커져버렸다. 이게 어떻게 된 일일까?
얼핏 보면 삼각형과 사다리꼴의 변이 일직선 위에 놓여 있는 것처럼 보인다. 하지만 삼각형과 사다리꼴의 변의 기울기를 구해보면 각각 3/8 과 2/5 로 서로 달라 두 변이 일직선상에 놓일 수 없음을 알 수 있다. 사실 정확하게 그림을 그리면 가운데 틈이 생기는데 이 부분의 넓이가 바로 1이다. 이처럼 어떤 도형을 분할했다가 다시 조합했을 때 넓이가 달라지는 것처럼 보이는 현상을 도형분할의 역설(Dissection Paradox)이라고 한다.
이런 종류의 문제는 생각보다 쉽게 만들 수 있는데 피보나치수열의 성질을 이용하면 어렵지 않게 해결된다. 각 도형의 변의 기울기를 결정하는데 사용된 변의 길이는 2,3,5,8,13 으로 피보나치수이다. 변의 기울기가 되는 3/8, 5/13, 8/21 이 모두 비슷한 크기가 되어 눈속임을 하는데 아주 적절하다. 또 피보나치수 5, 8, 13 에서 가운데 수로 만든 정사각형의 넓이 8×8=64는 양 옆의 수로 만든 직사각형의 넓이 13×5=65와 비교하여 1 만큼 차이가 나는데 이것은 피보나치수열에서 일반적으로 성립하는 성질이
다. 즉, 자연수에 대해 수식 1이 성립한다. 이러한 성질을 이용한다면 넓이가 1만큼 차이나는 정사각형과 직사각형의 조합을 쉽게 만들 수 있을 것이다. 여러분도 직접 문제를 만들어보길 바란다. 조계성조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 이름으로 배우는 영어 (2) 우리나라 ‘홍길동’은 영어로 ‘hancock’
도박을 너무 좋아한 나머지 빵 사이에 고기와 채소를 함께 넣고 먹기 시작한 ‘샌드위치 백작’의 이름에서 [샌드위치]가 유래된 이야기나 [단두대]를 만든 의사 ‘길로틴’의 이름에서 그 단어가 유래된 것처럼 우리가 쓰는 단어 중에 사람에 이름에서 따온 단어들이 꽤 많습니다. 서양 이름들은 성경 인물의 이름을 차용한 경우가 많은데, 대표적으로 John은 ‘요한’이란 성경 인물에서 따온 이름입니다. 그래서 ‘세례 요한’을 John the baptist라고 하는 것이지요.
그런데 최초의 수세식 변기를 고안한 사람 이름도 John이기 때문에 John에 ‘화장실’이란 뜻도 있고 심지어 John School이란 단어는 ‘성매매 재범방지 교육 프로그램’이란 뜻으로도 쓰입니다. 이런 이름이 붙은 까닭은 성매매로 체포된 대부분의 남성이 자신의 이름을 가장 흔한 이름 중 하나인 John이라고 한 것에서 유래된 것인데, 그래서 ‘신원 미확인 남성’을 John Doe라고 합니다. 같은 이유로 ‘신원 미확인 여성’을 Jane Doe라고 하는데, CSI 같은 미드에서 흔히 들을 수 있는 단어들입니다.
성경에서 차용한 이름 중 예수님의 수제자 베드로(Peter)를 빼놓을 수 없지요. 아마, 교회 다니시는 분들은 잘 아시겠지만, 예수님이 반석 위에 교회를 세우시겠다는 의미로 이 이름을 부여하신 것인데 바로 petro가 ‘돌’이란 뜻을 가지고 있기 때문입니다. 그래서 ‘석유’를 petroleum이라고 하는데 이 단어는 영국과 호주, 그리고 캐나다 등지에서는 gas station(주유소)의 의미로도 많이 쓰입니다. Boycott(불매 운동)란 단어 역시 악덕 지주였던 boycott 횡포에 대항해서 소작농들이 거래를 거부한 데서 유래한 표현이고, 우리가 미술에서 자주 쓰는 ‘실루엣’이란 표현도 극단적 절약을 강조하여, 초상화도 검은색만이면 충분하다고 주장한 프랑스의 재무상 silhouette에서 나온 단어입니다.
끝으로, 우리도 서명란에 ‘홍길동’이란 표현을 자주 쓰는데 신기하게도 영어에도 똑같은 표현이 있습니다. 바로 hancock라는 단어인데 독립 선언서에 최초로 서명한 John Hancock의 이름에서 따온 단어입니다.(참고로, 윌 스미스 주연의 영화 ‘핸콕’ 참 재밌습니다~^^*)
생각해보면 우리나라에도 사람의 이름에서 따온 단어들이 많은데 ‘명태’는 ‘명천지방 태서방’이 그 물고기를 잡아 임금님께 올렸다는 이야기에서, ‘임연수’ 역시 잡은 사람 이름인 ‘임연수’에서 유래되었으며, ‘숙주나물’ 또한 쉽게 상하는 것이 변절자 ‘신숙주’와 닮아 붙여졌다는 이야기처럼 언어는 늘 역사와 사람들의 삶과 함께하는 것 같습니다.
영어 공부를 할 때마다 김춘수님의 ‘꽃’이라는 시가 자주 떠오르는데 단어 역시 내가 [이름]을 불러줄 때 비로소 나에게 하나의 ‘꽃’으로, 또 ‘의미’로 다가오는 것 같습니다~^^*
배시원배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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