하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 산술평균과 기하평균의 ‘기하학적 의미’
양수 a, b에 대해 a+b/2를 산술평균, √ab를 기하평균이라 정의하고, 이 둘 사이에는 항상 a+b/2≥√ab가 성립한다는 사실을 잘 알고 있다. 증명은 다음과 같이 부등식의 성질을 이용하여 간단하게 해결할 수 있다. A=a+b/2, G=√ab라 할 때 A＞0, G＞0 이므로 A·A ≥ G·G 임을 보이면 충분하다.
하지만 위와 같은 증명 방법은 너무 기계적이라 별로 수학적 재미를 주지 않는다. 복잡한 수식이 사용되는 서술 방식이 아니라 간단하게 그림 하나만 그려 놓아 명제가 가지고 있는 의미를 충분하게 설명할 수 있다면 그 속에서 간결한 수학적 아름다움과 재미를 훨씬 더 느낄 수 있을 것이다. 아래에 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 나타내는 몇 개의 그림을 소개한다. 각자 그림 속에 담겨진 수학적 아름다움을 충분히 음미할 수 있기를 기대한다. 지면 관계상 그림에 대한 자세한 설명은 생략한다.
1. 반원을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명 (그림1)
a+b/2 ≥ √ab
2. 외접원을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명(그림2)
a+b/2 ≥ √ab
3. 사각형을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명 (그림 3)
4. 사각형을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명 (그림 4)
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 사자떼는 영어로 뭘까요?
다음 문제의 정답은 뭘까요?
a ( ) of lions (사자 떼)
1) plenty
2) school
3) pack
4) pride
정답은 바로 pride입니다. 역시 사자는 자부심을 가지고 어울려 다녀서 pride라는 단어를 쓰는 것 같습니다. 몇 년 전 [스펀지]라는 프로그램에서 서울대공원 사육사가 “사자는 [프라이드]로 센다”라는 명제로 지식 개발금 100만원을 타시는 모습을 TV로 바라보며 “아, 나는 나의 얕은 지식조차 활용하지 못하는구나” 하며 눈물을 흘렸던 기억이 아직도 생생합니다. 우리가 흔히 ‘떼’를 나타날 때 쓰는 단어인 herd는 소나 돼지 같은 대형 동물일 때 주로 사용하고, flock은 양이나 새의 경우에 많이 씁니다. school이 ‘떼’라는 뜻으로 쓰일 때는 주로 물고기를 대상으로 하므로, 니모를 찾아서(Finding Nemo)란 영화에서 school of fish라는 말장난(pun)을 칠 수 있었던 것입니다~^^*
Pack의 경우에는 a pack of wolves나 a pack of thieves처럼 강하거나, 안 좋은 무리에 많이 쓰답니다. 또한 game도 ‘떼’를 나타낼 수 있는데 a game of swans가 되면 ‘백조떼’라는 뜻이 되고, 심지어 wild game이 되면 ‘야생 사냥감’이란 뜻으로 번역되는데, 이때 game은 불가산명사이기 때문에 관사 a를 붙일 수 없습니다. (이 문제가 텝스에 나오면 대부분의 학생은 그냥 틀리지요)
이쯤에서 왜 plenty가 정답이 아닌지 궁금한 분들이 많을 텐데, 우리가 너무 쉽다고 무시하는 표현 plenty of는 앞에 관사를 쓰지 않기 때문에 정답이 될 수 없습니다.
역시 단어는 반드시 문장속에서, 덩어리째, 소리로 공부해야 합니다. 많은 학생이 다의어나 동음이의어 때문에 영어가 어렵다고 하지만, 사실 이 세상 모든 단어는 하나의 뜻에서 출발했습니다. 시간이 흐르고, 상황이 변화면서 의미가 확장되고, 다양해진 것뿐이지요. (이 부분에 대해서는 나중에 다시 한 번 말씀드리겠습니다~!!!)
그런데 영어가 외국어라 낯선 것뿐이지, 사실 어려운 것은 아닙니다. 우리나라 사람 중 어느 누구도 “와~ 하늘에서 눈이 내리네”라는 문장을 듣고 눈알이 하늘에서 폭탄처럼 떨어지는 공포스러운 장면을 상상하는 사람은 아무도 없을 것입니다. 또, [습관]과 [버릇]을 비슷한 표현으로 사용할 수 있다고 해서 그 어떤 누구도, 무례한 사람에게 “너는 왜 이리 [습관]이 없냐?”라고 말하는 사람도 절대 없겠지요.
이처럼 한국어 네이티브 스피커인 우리는 우리말의 다의어 혹은 동음이의어를 문맥 속에서 쉽게 구분할 수 있습니다. 따라서 영어(외국어)를 공부할 때도 당연히 의미 단위, 문장 단위로 공부하는 것은 기본 중의 기본입니다~!!!
언어란 결국 단어들의 모임일 뿐입니다. 따라서 단어들이 어떻게 구성되는지(collocation)와 문장 속에서 어떻게 쓰이는지(context meaning)에 대해 궁금해 하고, 또 그것을 소리를 바탕으로 익히는 것이 바로 외국어 학습의 첫걸음입니다. 비빔밥은 온갖 재료를 알맞게 비볐을 때, 참맛을 느낄 수 있습니다. 네, 영어도 그렇습니다~!!!^^*
배시원
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
양수 a, b에 대해 a+b/2를 산술평균, √ab를 기하평균이라 정의하고, 이 둘 사이에는 항상 a+b/2≥√ab가 성립한다는 사실을 잘 알고 있다. 증명은 다음과 같이 부등식의 성질을 이용하여 간단하게 해결할 수 있다. A=a+b/2, G=√ab라 할 때 A＞0, G＞0 이므로 A·A ≥ G·G 임을 보이면 충분하다.
하지만 위와 같은 증명 방법은 너무 기계적이라 별로 수학적 재미를 주지 않는다. 복잡한 수식이 사용되는 서술 방식이 아니라 간단하게 그림 하나만 그려 놓아 명제가 가지고 있는 의미를 충분하게 설명할 수 있다면 그 속에서 간결한 수학적 아름다움과 재미를 훨씬 더 느낄 수 있을 것이다. 아래에 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 나타내는 몇 개의 그림을 소개한다. 각자 그림 속에 담겨진 수학적 아름다움을 충분히 음미할 수 있기를 기대한다. 지면 관계상 그림에 대한 자세한 설명은 생략한다.
1. 반원을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명 (그림1)
a+b/2 ≥ √ab
2. 외접원을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명(그림2)
a+b/2 ≥ √ab
3. 사각형을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명 (그림 3)
4. 사각형을 이용한 산술평균과 기하평균의 관계 증명 (그림 4)
조계성조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 사자떼는 영어로 뭘까요?
다음 문제의 정답은 뭘까요?
a ( ) of lions (사자 떼)
1) plenty
2) school
3) pack
4) pride
정답은 바로 pride입니다. 역시 사자는 자부심을 가지고 어울려 다녀서 pride라는 단어를 쓰는 것 같습니다. 몇 년 전 [스펀지]라는 프로그램에서 서울대공원 사육사가 “사자는 [프라이드]로 센다”라는 명제로 지식 개발금 100만원을 타시는 모습을 TV로 바라보며 “아, 나는 나의 얕은 지식조차 활용하지 못하는구나” 하며 눈물을 흘렸던 기억이 아직도 생생합니다. 우리가 흔히 ‘떼’를 나타날 때 쓰는 단어인 herd는 소나 돼지 같은 대형 동물일 때 주로 사용하고, flock은 양이나 새의 경우에 많이 씁니다. school이 ‘떼’라는 뜻으로 쓰일 때는 주로 물고기를 대상으로 하므로, 니모를 찾아서(Finding Nemo)란 영화에서 school of fish라는 말장난(pun)을 칠 수 있었던 것입니다~^^*
Pack의 경우에는 a pack of wolves나 a pack of thieves처럼 강하거나, 안 좋은 무리에 많이 쓰답니다. 또한 game도 ‘떼’를 나타낼 수 있는데 a game of swans가 되면 ‘백조떼’라는 뜻이 되고, 심지어 wild game이 되면 ‘야생 사냥감’이란 뜻으로 번역되는데, 이때 game은 불가산명사이기 때문에 관사 a를 붙일 수 없습니다. (이 문제가 텝스에 나오면 대부분의 학생은 그냥 틀리지요)
이쯤에서 왜 plenty가 정답이 아닌지 궁금한 분들이 많을 텐데, 우리가 너무 쉽다고 무시하는 표현 plenty of는 앞에 관사를 쓰지 않기 때문에 정답이 될 수 없습니다.
역시 단어는 반드시 문장속에서, 덩어리째, 소리로 공부해야 합니다. 많은 학생이 다의어나 동음이의어 때문에 영어가 어렵다고 하지만, 사실 이 세상 모든 단어는 하나의 뜻에서 출발했습니다. 시간이 흐르고, 상황이 변화면서 의미가 확장되고, 다양해진 것뿐이지요. (이 부분에 대해서는 나중에 다시 한 번 말씀드리겠습니다~!!!)
그런데 영어가 외국어라 낯선 것뿐이지, 사실 어려운 것은 아닙니다. 우리나라 사람 중 어느 누구도 “와~ 하늘에서 눈이 내리네”라는 문장을 듣고 눈알이 하늘에서 폭탄처럼 떨어지는 공포스러운 장면을 상상하는 사람은 아무도 없을 것입니다. 또, [습관]과 [버릇]을 비슷한 표현으로 사용할 수 있다고 해서 그 어떤 누구도, 무례한 사람에게 “너는 왜 이리 [습관]이 없냐?”라고 말하는 사람도 절대 없겠지요.
이처럼 한국어 네이티브 스피커인 우리는 우리말의 다의어 혹은 동음이의어를 문맥 속에서 쉽게 구분할 수 있습니다. 따라서 영어(외국어)를 공부할 때도 당연히 의미 단위, 문장 단위로 공부하는 것은 기본 중의 기본입니다~!!!
언어란 결국 단어들의 모임일 뿐입니다. 따라서 단어들이 어떻게 구성되는지(collocation)와 문장 속에서 어떻게 쓰이는지(context meaning)에 대해 궁금해 하고, 또 그것을 소리를 바탕으로 익히는 것이 바로 외국어 학습의 첫걸음입니다. 비빔밥은 온갖 재료를 알맞게 비볐을 때, 참맛을 느낄 수 있습니다. 네, 영어도 그렇습니다~!!!^^*
배시원배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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