하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 산술평균과 기하평균의 관계 속 오류
지난 호에서 두 양수 a,b에 대해 a+b/2 ≥ √ab(단, 등호는 a=b일 때 성립)가 성립함을 공부했다. 이 식은 두 양수 a.b가 변하더라도 두 수의 합 a+b=k(일정)이면 두 수의 곱은 최대값 (k/2)²을 가지고, 반대로 두 수의 곱 ab=β(일정) 이면 두 수의 합은 최소값 2√β을 가진다는 것을 의미한다.
최대값이나 최소값을 구하는 문제를 해결할 때 위의 부등식을 사용하면 아주 간단하게 답을 구할 수 있게 되는 경우가 많다. 이러한 편리함 때문에 최대값이나 최소값을 구할 때 문제의 특수한 상황이나 조건 여부도 따지지 않고 부등식을 무조건 적용하여 답을 구하려다가 심각한 오류에 빠지는 경우가 종종 있다. 아래는 몇 년 전 모 대학 입시에서 출제된 문제인데 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대값이나 최소값을 구할 때 빠지기 쉬운 오류를 잘 지적하고 있다.
문제 그림과 같이 두 개의 직사각형을 각각의 한 모서리에서 서로 붙였다. 그리고 각 직사각형에서 이 모서리와 만나지 않는 두 변의 연장선을 그린 후, 그림과 같이 큰 직사각형을 만들었다. 처음 두 직사각형의 넓이가 1㎡와 4㎡로 일정하다고 가정할 때 큰 직사각형 넓이의 최소값을 구하는 문제를 다음과 같이 풀었다. 이 풀이의 타당성을 판단하고 문제점이 있으면 그것을 지적하고 올바르게 설명하시오.
풀이 넓이가 1㎡와 4㎡ 인 두 직사각형의 가로의 길이를 각각 x와 y라 하자.
그러면 세로의 길이는 각각 1/x와 4/y 이다. 이때 큰 직사각형의 가로의 길이는 x+y 이고 이 길이는 “산술평균이 기하평균보다 항상 크거나 같다”라는 정리를 사용하면 2√xy 보다 크거나 같게 된다. 같은 방법으로 세로의 길이는 1/x + 4/y 이므로 2√4/xy보다 크거나 같다. 따라서 큰 직사각형의 넓이는 2√xy × 2√4/xy=8 보다 크거나 같다. 그러므로 큰 직사각형의 넓이의 최소값은 8㎡이다.
해설 다시 정리하면 수식 1
즉, 큰 직사각형의 넓이의 최소값은 8㎡ 이라는주장이다. 결론부터 말하면 답이 틀렸다. 직삭각형의 넓이는 아무리 작게 해도 8㎡ 보다 커진다. 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대값이나 최소값을 구할 때는 등호가 성립할 조건을 항상 주의 깊게 살펴봐야 한다.
이 문제에서는 수식 2 가 성립한다. 그런데 x=y와 1/x = 1/y 를 동시에 만족하는 양수 x,y 는 존재하지 않는다. 따라서 직사각형의 넓이가 8㎡ 가 되는 상황은 존재하지 않는다.
이런 오류에서 벗어나기 위해서는 다음과 같이 직사각형의 넓이를 나타내는 식을 전개하여 산술평균과 기하평균의 관계를 바로 적용시켜도 모순이 발생하지 않게 식의 모양을 바꿔주는 작업이 필요하다. 수식 3 즉, y/x = 4x/y 일 때 직사각형의 넓이는 최소값 9를 가진다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - hear 와 listen…say 와 tell, 그 차이를 아시나요?
‘Keren Ann’의 감미로운 목소리가 돋보이는 [Not going anywhere]에는 다음과 같은 가사가 나옵니다.
I like to hear but not to listen, I like to say but not to tell.
그런데 우리나라에서 해 놓은 대부분의 번역을 보면 “나는 듣는 것을 좋아하지만, 듣기를 좋아하지 않죠.” “나는 말하는 것을 좋아하지만, 말하기를 좋아하지 않아요.” 도대체, 이게 무슨 말이죠? 아마도, 이 정도로 번역하는 것이 맞지 않을까요? “사람들의 말을 잘 듣는 편이지만, 그들의 속내에는 관심이 없죠.” “남과 얘기하는 건 좋지만, 속에 있는 말까지는 하지 않아요.”
<단순히 듣다>의 의미인 hear과 <집중해서 듣다>라는 listen <그저 말하다>의 say와 <자세히 말하다>라는 tell의 차이를 이용해 만든 정말 시적인 가사인데, 문맥적 의미를 무시하니 외계어가 되어 버리고 말았네요. 우리가 너무 쉽다고 생각하는 어휘의 의미를 과연 우리는 정말 제대로 알고 있을까요?
좋은 팝송은 감미로운 멜로디와 함께 아름다운 가사를 담고 있어 영어 공부하는데 참 좋은 교재라 생각합니다~!!! 누가 저한테 가장 좋아하는 팝송이 뭐냐고 물으면 저는 주저없이 스티비 원더의 [Isn’t she lovely]를 꼽는데 처음에는 그저 사랑 노래인 줄 알았던 이 노래가 사실은 참 슬픈 사연을 담고 있더군요.시각장애인 스티비 원더, 그에게는 딸이 있었고, 그 딸을 볼 수 없었던 아빠의 마음. 정말 답답하고 속이 많이 상했겠죠?? 스티비 원더는 그런 딸의 행복한 모습을 보기 위하여 시신경 수술을 하게 됩니다.
시신경이 워낙 많이 손상되어 개안수술을 받더라도 적게는 몇 초에서 길어도 30분밖에 볼 수 없는 수술. 스티비 원더는 수술 후 딸의 얼굴을 보며 행복해했고, 딸은 그런 아빠를 보며 너무나 행복한 시간을 보냈습니다.
그러나 사실 수술은 실패였고, 딸 아이에게 실망을 안기기 싫어 선의의 거짓말을 한 거지요. 이때 작곡한 노래가 바로 [Isn’t she lovely]라고 하네요. 역시 눈으로 보는 것보다 마음으로 보는 것이 더 아름다운 것 같습니다~!!!
이야기 하나 더. 미드 [앨리 맥빌]과 [콜드 케이스]는 항상 엔딩 장면에 추억의 팝송 명곡이 흘러나와 어느 날은 그 부분만 계속해서 볼 때도 많습니다.어린 시절에 재밌게 보았던 [케빈은 12살]을 어른이 되어 [Wonder Years]로 다시 보니 1960~70년대 명곡들로 가득 찬 하나의 주크박스로 다가옵니다.
영화 [노팅힐]이 그렇게 가슴 떨린 이유 중 하나는 영화 내용을 너무도 완벽하게 함축한 노래 [she]를 들을 수 있기 때문일지도 모르겠습니다.
배시원
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
지난 호에서 두 양수 a,b에 대해 a+b/2 ≥ √ab(단, 등호는 a=b일 때 성립)가 성립함을 공부했다. 이 식은 두 양수 a.b가 변하더라도 두 수의 합 a+b=k(일정)이면 두 수의 곱은 최대값 (k/2)²을 가지고, 반대로 두 수의 곱 ab=β(일정) 이면 두 수의 합은 최소값 2√β을 가진다는 것을 의미한다.최대값이나 최소값을 구하는 문제를 해결할 때 위의 부등식을 사용하면 아주 간단하게 답을 구할 수 있게 되는 경우가 많다. 이러한 편리함 때문에 최대값이나 최소값을 구할 때 문제의 특수한 상황이나 조건 여부도 따지지 않고 부등식을 무조건 적용하여 답을 구하려다가 심각한 오류에 빠지는 경우가 종종 있다. 아래는 몇 년 전 모 대학 입시에서 출제된 문제인데 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대값이나 최소값을 구할 때 빠지기 쉬운 오류를 잘 지적하고 있다.
문제 그림과 같이 두 개의 직사각형을 각각의 한 모서리에서 서로 붙였다. 그리고 각 직사각형에서 이 모서리와 만나지 않는 두 변의 연장선을 그린 후, 그림과 같이 큰 직사각형을 만들었다. 처음 두 직사각형의 넓이가 1㎡와 4㎡로 일정하다고 가정할 때 큰 직사각형 넓이의 최소값을 구하는 문제를 다음과 같이 풀었다. 이 풀이의 타당성을 판단하고 문제점이 있으면 그것을 지적하고 올바르게 설명하시오.풀이 넓이가 1㎡와 4㎡ 인 두 직사각형의 가로의 길이를 각각 x와 y라 하자.
그러면 세로의 길이는 각각 1/x와 4/y 이다. 이때 큰 직사각형의 가로의 길이는 x+y 이고 이 길이는 “산술평균이 기하평균보다 항상 크거나 같다”라는 정리를 사용하면 2√xy 보다 크거나 같게 된다. 같은 방법으로 세로의 길이는 1/x + 4/y 이므로 2√4/xy보다 크거나 같다. 따라서 큰 직사각형의 넓이는 2√xy × 2√4/xy=8 보다 크거나 같다. 그러므로 큰 직사각형의 넓이의 최소값은 8㎡이다.
해설 다시 정리하면 수식 1즉, 큰 직사각형의 넓이의 최소값은 8㎡ 이라는주장이다. 결론부터 말하면 답이 틀렸다. 직삭각형의 넓이는 아무리 작게 해도 8㎡ 보다 커진다. 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대값이나 최소값을 구할 때는 등호가 성립할 조건을 항상 주의 깊게 살펴봐야 한다.
이 문제에서는 수식 2 가 성립한다. 그런데 x=y와 1/x = 1/y 를 동시에 만족하는 양수 x,y 는 존재하지 않는다. 따라서 직사각형의 넓이가 8㎡ 가 되는 상황은 존재하지 않는다.
이런 오류에서 벗어나기 위해서는 다음과 같이 직사각형의 넓이를 나타내는 식을 전개하여 산술평균과 기하평균의 관계를 바로 적용시켜도 모순이 발생하지 않게 식의 모양을 바꿔주는 작업이 필요하다. 수식 3 즉, y/x = 4x/y 일 때 직사각형의 넓이는 최소값 9를 가진다.
조계성조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - hear 와 listen…say 와 tell, 그 차이를 아시나요?
‘Keren Ann’의 감미로운 목소리가 돋보이는 [Not going anywhere]에는 다음과 같은 가사가 나옵니다.
I like to hear but not to listen, I like to say but not to tell.
그런데 우리나라에서 해 놓은 대부분의 번역을 보면 “나는 듣는 것을 좋아하지만, 듣기를 좋아하지 않죠.” “나는 말하는 것을 좋아하지만, 말하기를 좋아하지 않아요.” 도대체, 이게 무슨 말이죠? 아마도, 이 정도로 번역하는 것이 맞지 않을까요? “사람들의 말을 잘 듣는 편이지만, 그들의 속내에는 관심이 없죠.” “남과 얘기하는 건 좋지만, 속에 있는 말까지는 하지 않아요.”
<단순히 듣다>의 의미인 hear과 <집중해서 듣다>라는 listen <그저 말하다>의 say와 <자세히 말하다>라는 tell의 차이를 이용해 만든 정말 시적인 가사인데, 문맥적 의미를 무시하니 외계어가 되어 버리고 말았네요. 우리가 너무 쉽다고 생각하는 어휘의 의미를 과연 우리는 정말 제대로 알고 있을까요?
좋은 팝송은 감미로운 멜로디와 함께 아름다운 가사를 담고 있어 영어 공부하는데 참 좋은 교재라 생각합니다~!!! 누가 저한테 가장 좋아하는 팝송이 뭐냐고 물으면 저는 주저없이 스티비 원더의 [Isn’t she lovely]를 꼽는데 처음에는 그저 사랑 노래인 줄 알았던 이 노래가 사실은 참 슬픈 사연을 담고 있더군요.시각장애인 스티비 원더, 그에게는 딸이 있었고, 그 딸을 볼 수 없었던 아빠의 마음. 정말 답답하고 속이 많이 상했겠죠?? 스티비 원더는 그런 딸의 행복한 모습을 보기 위하여 시신경 수술을 하게 됩니다.시신경이 워낙 많이 손상되어 개안수술을 받더라도 적게는 몇 초에서 길어도 30분밖에 볼 수 없는 수술. 스티비 원더는 수술 후 딸의 얼굴을 보며 행복해했고, 딸은 그런 아빠를 보며 너무나 행복한 시간을 보냈습니다.
그러나 사실 수술은 실패였고, 딸 아이에게 실망을 안기기 싫어 선의의 거짓말을 한 거지요. 이때 작곡한 노래가 바로 [Isn’t she lovely]라고 하네요. 역시 눈으로 보는 것보다 마음으로 보는 것이 더 아름다운 것 같습니다~!!!
이야기 하나 더. 미드 [앨리 맥빌]과 [콜드 케이스]는 항상 엔딩 장면에 추억의 팝송 명곡이 흘러나와 어느 날은 그 부분만 계속해서 볼 때도 많습니다.어린 시절에 재밌게 보았던 [케빈은 12살]을 어른이 되어 [Wonder Years]로 다시 보니 1960~70년대 명곡들로 가득 찬 하나의 주크박스로 다가옵니다.
영화 [노팅힐]이 그렇게 가슴 떨린 이유 중 하나는 영화 내용을 너무도 완벽하게 함축한 노래 [she]를 들을 수 있기 때문일지도 모르겠습니다.
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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