하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 잘못 사용하면 위험한 '수학적 귀납법'
어떤 명제가 모든 자연수에 대해 성립함을 설명하는 데 수학적 귀납법이 아주 유용하다. 무한개의 명제를 증명하기 위해 먼저 ‘첫 번째 명제가 참임을 증명하고 그 다음에는 명제들 중에서 어떤 하나가 참이면 그 다음 명제도 참임을 증명하는 방법으로 이뤄진다. 이를 좀 더 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
Ρ(n)은 정수 n에 대해 정의된 어떤 속성, a를 어떤 고정된 정수로 두자. 그리고 다음 두 명제가 참이라고 가정하자.
1.Ρ(a)가 참이다.
2. k≥a인 모든 정수 k에 대해, Ρ(k)가 참이면 Ρ(K+1)은 참이다. 그러면 n≥a인 모든 정수 n에 대해, P(n)이 성립한다.
그러나 다음과 같이 수학적귀납법을 잘못 사용하면 이상한 결론을 얻게 되는 경우도 있다.
[정리] 모든 말은 색이 같다. [증명] 이 정리를 증명하기 위해 자연수 n에 대하여 명제 Ρ(n)을 ‘n마리의 말로 이루어진 집합에 속하는 모든 말은 색이 같다’로 놓고, n에 대하여 수학적 귀납법을 적용한다.
1) 한 마리의 말로 이루어진 집합에 속한 말의 색은 같으므로 n=1이면 Ρ(1)은 명백히 참이다.
2) n≥1이고, Ρ(n)이 참이라고 가정하자. n+1마리의 말로 이루어진 임의의 집합 A가 있을 때 A에서 특정한 말 한 마리(이름을 a라고 하자)를 제외하고 나머지 n마리의 말로 구성된 집합을 B라 하자. 그러면 집합 B에는 n마리의 말이 있으므로, 가정에 의하여 집합 B의 모든 말은 색이 같다.
이제 아까 제외했던 특정한 말 a를 다시 집합 A에 포함시키고 다른 말 한 마리를 제외시켜 남은 n마리 말로 구성된 집합을 C라고 하자. 그러면 집합 C에도 n마리의 말이 있으므로, 가정에 의하여 모든 말은 색이 같다.
3) 집합 A의 모든 말은 색이 같으므로, Ρ(n+1)이 참이다. 따라서 모든 자연수 n에 대하여 Ρ(n)이 참이므로, 모든 말은 색이 같다.
위의 증명에서 어느 부분이 잘못되었나? 증명 과정 2)에서 n=1이면 n+1=2이므로 두 마리의 말로 이루어진 집합을 A=a, b}라고 하자. 이때 집합 A에서 a를 제거한 집합은 B=b}이고 당연히 집합 B에 속한 말은 색이 같다.
이제 a를 집합 A에 다시 포함시키고 b를 제거한 집합을 C라고 하면 C=a}이므로 당연히 집합 C에 속한 말은 색이 같다. 그러나 이 경우에 a, b의 색이 같다는 보장이 없다. 즉 a, b의 색이 달라도 앞의 설명은 참이 된다. 따라서 2)에서 “가정에 의하여 모든 말은 색이 같다”라는 것이 성립하지 않는다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - love handle·spare tire·muffin top…공통점은 뭘까요?
영어에 love handle이란 표현이 있습니다. 언뜻 보면 love가 들어갔으니, 정말 ‘사랑’스런 표현 같은데, 도대체 무슨 뜻일까요? 놀랍게도, 바지를 입었을 때 튀어나온 옆구리 살을 가리키는 말이랍니다. 사랑하는 사람의 똥배도 귀엽게 표현한 참 로맨틱한 표현인 것 같습니다.
똥배를 가리키는 표현은 영어에 참 많은데, 그 중에 하나가 바로 spare tire입니다. 원래 spare tire는 타이어가 펑크 났을 때를 대비하여, 예비로 가지고 다니는 타이어를 말하는데, 튀어나온 뱃살이 꼭 배에 타이어를 끼고 있는 것 같아, 군더더기 살을 나타낼 때 사용하는 표현이랍니다.
마찬가지로, muffin top이란 표현도 있습니다. 이 역시 머핀의 윗 모양이 삐져나온 뱃살을 연상케 해서 만들어진 표현인데, 영화 [먹고 기도하고 사랑하라(Eat Pray Love)]에서 친구의 뱃살을 보고 ‘줄리아 로버츠’가 했던 대사이기도 합니다.
흔히 우리가 ‘똥배’ 혹은 ‘올챙이 배’라고 할 때, 가장 많이 쓰는 표현 중에 하나는 바로 pot belly입니다. 이 표현도 둥그런 냄비, 혹은 항아리를 연상하면 쉽게 떠올릴 수 있는 표현이지요. beer belly라고 할 수도 있는데, 이때는 특히 맥주를 많이 마셔서 나온 남성의 배를 뜻한답니다.
이와는 반대로 몸매가 아주 좋은 여성을 cheese cake, 그리고 근육질의 남성을 beef cake이라고 하기도 합니다. 하지만 이 두 표현 다 조금 야한 느낌이 있으므로, 사용할 때는 조금 주의할 필요가 있습니다. (미드에서 많이 나온다고 해서 아무한테나 이런 표현을 쓰면 안 됩니다~!!!!)
끝으로, 배가 나왔는지, 안 나왔는지는 birthday suit를 입어보면 바로 알 수 있습니다. 아니 어떻게 ‘생일날 입는 옷’을 입으면 배가 나왔는지, 안 나왔는지를 알 수 있을까요?
네, birthday suit는 생일날 입는 특별한 옷이 아니라, 바로 태어났을 때 아무것도 입지 않은 상태를 가리키는 말이랍니다. 따라서 '벌거벗은 임금님‘이 아닌 이상 어떤 파티나 모임에 참석할 때, 절대 birthday suit는 입고 가면 안 됩니다~!!!^^*
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
어떤 명제가 모든 자연수에 대해 성립함을 설명하는 데 수학적 귀납법이 아주 유용하다. 무한개의 명제를 증명하기 위해 먼저 ‘첫 번째 명제가 참임을 증명하고 그 다음에는 명제들 중에서 어떤 하나가 참이면 그 다음 명제도 참임을 증명하는 방법으로 이뤄진다. 이를 좀 더 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
Ρ(n)은 정수 n에 대해 정의된 어떤 속성, a를 어떤 고정된 정수로 두자. 그리고 다음 두 명제가 참이라고 가정하자.
1.Ρ(a)가 참이다.
2. k≥a인 모든 정수 k에 대해, Ρ(k)가 참이면 Ρ(K+1)은 참이다. 그러면 n≥a인 모든 정수 n에 대해, P(n)이 성립한다.
그러나 다음과 같이 수학적귀납법을 잘못 사용하면 이상한 결론을 얻게 되는 경우도 있다.
[정리] 모든 말은 색이 같다. [증명] 이 정리를 증명하기 위해 자연수 n에 대하여 명제 Ρ(n)을 ‘n마리의 말로 이루어진 집합에 속하는 모든 말은 색이 같다’로 놓고, n에 대하여 수학적 귀납법을 적용한다.
1) 한 마리의 말로 이루어진 집합에 속한 말의 색은 같으므로 n=1이면 Ρ(1)은 명백히 참이다.
2) n≥1이고, Ρ(n)이 참이라고 가정하자. n+1마리의 말로 이루어진 임의의 집합 A가 있을 때 A에서 특정한 말 한 마리(이름을 a라고 하자)를 제외하고 나머지 n마리의 말로 구성된 집합을 B라 하자. 그러면 집합 B에는 n마리의 말이 있으므로, 가정에 의하여 집합 B의 모든 말은 색이 같다.
이제 아까 제외했던 특정한 말 a를 다시 집합 A에 포함시키고 다른 말 한 마리를 제외시켜 남은 n마리 말로 구성된 집합을 C라고 하자. 그러면 집합 C에도 n마리의 말이 있으므로, 가정에 의하여 모든 말은 색이 같다.
3) 집합 A의 모든 말은 색이 같으므로, Ρ(n+1)이 참이다. 따라서 모든 자연수 n에 대하여 Ρ(n)이 참이므로, 모든 말은 색이 같다.
위의 증명에서 어느 부분이 잘못되었나? 증명 과정 2)에서 n=1이면 n+1=2이므로 두 마리의 말로 이루어진 집합을 A=a, b}라고 하자. 이때 집합 A에서 a를 제거한 집합은 B=b}이고 당연히 집합 B에 속한 말은 색이 같다.
이제 a를 집합 A에 다시 포함시키고 b를 제거한 집합을 C라고 하면 C=a}이므로 당연히 집합 C에 속한 말은 색이 같다. 그러나 이 경우에 a, b의 색이 같다는 보장이 없다. 즉 a, b의 색이 달라도 앞의 설명은 참이 된다. 따라서 2)에서 “가정에 의하여 모든 말은 색이 같다”라는 것이 성립하지 않는다.조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - love handle·spare tire·muffin top…공통점은 뭘까요?
영어에 love handle이란 표현이 있습니다. 언뜻 보면 love가 들어갔으니, 정말 ‘사랑’스런 표현 같은데, 도대체 무슨 뜻일까요? 놀랍게도, 바지를 입었을 때 튀어나온 옆구리 살을 가리키는 말이랍니다. 사랑하는 사람의 똥배도 귀엽게 표현한 참 로맨틱한 표현인 것 같습니다.똥배를 가리키는 표현은 영어에 참 많은데, 그 중에 하나가 바로 spare tire입니다. 원래 spare tire는 타이어가 펑크 났을 때를 대비하여, 예비로 가지고 다니는 타이어를 말하는데, 튀어나온 뱃살이 꼭 배에 타이어를 끼고 있는 것 같아, 군더더기 살을 나타낼 때 사용하는 표현이랍니다.
마찬가지로, muffin top이란 표현도 있습니다. 이 역시 머핀의 윗 모양이 삐져나온 뱃살을 연상케 해서 만들어진 표현인데, 영화 [먹고 기도하고 사랑하라(Eat Pray Love)]에서 친구의 뱃살을 보고 ‘줄리아 로버츠’가 했던 대사이기도 합니다.
흔히 우리가 ‘똥배’ 혹은 ‘올챙이 배’라고 할 때, 가장 많이 쓰는 표현 중에 하나는 바로 pot belly입니다. 이 표현도 둥그런 냄비, 혹은 항아리를 연상하면 쉽게 떠올릴 수 있는 표현이지요. beer belly라고 할 수도 있는데, 이때는 특히 맥주를 많이 마셔서 나온 남성의 배를 뜻한답니다.
이와는 반대로 몸매가 아주 좋은 여성을 cheese cake, 그리고 근육질의 남성을 beef cake이라고 하기도 합니다. 하지만 이 두 표현 다 조금 야한 느낌이 있으므로, 사용할 때는 조금 주의할 필요가 있습니다. (미드에서 많이 나온다고 해서 아무한테나 이런 표현을 쓰면 안 됩니다~!!!!)
끝으로, 배가 나왔는지, 안 나왔는지는 birthday suit를 입어보면 바로 알 수 있습니다. 아니 어떻게 ‘생일날 입는 옷’을 입으면 배가 나왔는지, 안 나왔는지를 알 수 있을까요?
네, birthday suit는 생일날 입는 특별한 옷이 아니라, 바로 태어났을 때 아무것도 입지 않은 상태를 가리키는 말이랍니다. 따라서 '벌거벗은 임금님‘이 아닌 이상 어떤 파티나 모임에 참석할 때, 절대 birthday suit는 입고 가면 안 됩니다~!!!^^*배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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