하나고 조계성 쌤의
재미난 수학세계
하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 두 점 사이의 거리
거리란 어떤 사물들이 서로 얼마나 떨어져 있는가를 수치로 나타낸 것이다. 한 점에서 다른 한 점으로 이동하는 데 움직인 경로 길이의 최솟값을 두 점 사이의 거리라고 약속하자. 두 점 사이의 거리를 구할 때 좌표를 이용하면 매우 편리하다.
1. 직교좌표에서 두 점 사이의 거리 - 피타고라스 정리 이용
좌표평면 위의 두 점 P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂)가 주어져 있을 때 삼각형 PQH가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 두 점 사이의 거리 d는 다음과 같다. 수식1 이와 같은 기하의 기본 개념이 때에 따라서 복잡해 보이는 대수 문제를 푸는 데 간단한 해결책이 되어주기도 한다. 다음 문제를 통해 연습해보자.
<문제>
문제 수식 1 의 최소값을 구하시오
<해설> 주어진 식은 무리식일 뿐 아니라 변수도 2개나 되어 최솟값을 구하는 데 사용하는 일반적인 방법(예를 들어 미분)을 이용해 해결하기는 어렵다. 하지만 주어진 식의 의미를 기하학적으로 해석하면 아주 간단하게 해결된다. 즉 문제 해설 수식 점(x,y)에서 두 점 (1,2) (3,5)에 각각 이르는 거리로 해석하면 주어진 식은 점(x,y)에서 두 점(1,2) (3,5)에 이르는 거리의 합을 의미한다. 즉, 점(x,y)가 두 점(1,2) (3,5)을 잇는 선분 상에 있을 때 d₁+d₂는 최소가 된다. 즉 d₁+d₂의 최소값은 해설 수식 2 이다.
2. 바둑판 모양의 도로망 위에서 두 점 사이의 거리 - 택시 거리
그림과 같이 도로가 바둑판 모양으로 형성돼 있는 길을 따라 점 P에서 점 Q까지 택시를 타고 이동한다면 실제 움직인 거리 d는 수식 2 이다. 이와 같은 방법으로 정의되는 택시 거리는 유클리드 거리(위의 1번과 같은 정의)에 비해 얼핏 복잡해 보이지만 실제 생활에 쓰임새가 아주 많다. 예를 들어 소방서나 경찰서와 같은 공공기관은 관할구역 내에서 최단거리에 위치하도록 하는 게 좋으므로 도시를 계획할 때 이런 방법으로 거리를 계산해 위치를 정하는 것이 좋다. 내비게이션의 최단거리 산출도 이런 택시기하학에 뿌리를 두고 있다. 택시거리 개념을 이용해 중심이 원점이고 반지름이 3인 원을 그려보자.
반지름의 길이가 3이므로 택시평면 위에서 원은 ｜x｜+｜y｜= 3 만족시키는 점 (x,y)의 집합이다. 그림은 이 식을 만족시키는 점의 집합을 택시평면 위에 나타낸 것으로 택시원은 우리가 알고 있는 원이 아니고 두 대각선의 길이가 같은 마름모 모양의 정사각형이다.
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 고양이와 개에 관한 진실들…
비가 억수같이 내릴 때 It’s raining cats and dogs라는 표현을 쓰는데, 왜 하필이면 폭우를 ‘고양이와 개’에 비유했을까요? 여기에는 여러 가지 설이 있는데, 가장 유력한 후보 중 하나를 살펴보면, 19세기 초 영국 런던에 엄청난 폭우가 쏟아졌습니다. 그런데 이때 런던시의 대부분이 물에 잠겨 고양이와 개의 사체가 떠다녔다고 합니다. 그래서 이후에도 비가 엄청나게 내리는 모습을 표현할 때 cats and dogs라고 한답니다. 이처럼 우리 주위에서 친근하게 볼 수 있는 개와 고양이에 관한 표현은 정말 많답니다.
우선 개부터 살펴보면 식당에서 남은 음식을 포장해주는 것을 doggy bag이라고 합니다. 말 그대로 집에 있는 강아지에게 가져다주기 위해 음식을 포장해 달라는, 다소 실용적이면서도 또 체면치레(사실은 자신이 먹을 것이기 때문에)를 위한 표현입니다. 이제는 원래 의미와는 상관없이 남은 음식을 싸달라고 할 때 자연스럽게 “Can I have a doggy bag?”이라고 한답니다.
Underdog은 ‘패배자 혹은 낙오자’라는 뜻인데 반대말은 당연히 overdog, 또는 top dog이라고 합니다. 피구를 소재로 한 미국의 유명한 코미디 영화 [피구의 제왕(Dodgeball: A True Underdog Story)]도 있답니다. 또 주식시장에서 wag the dog이라는 표현도 많이 쓰는데 원래 The tail wags the dog(꼬리가 개를 흔든다/하극상)이라는 말에서 나온 표현이랍니다. wag the dog 역시 유명한 영화 제목이기도 한데, ‘더스틴 호프만’과 ‘로버트 드니로’의 열연이 빛나는 명작이니 기회가 되시면 꼭 보시기를 권합니다.
고양이와 관련된 표현 역시 참 많은데 대표적으로 A cat has nine lives(고양이는 목숨이 아홉 개다, 여간해서 죽지 않는다.)를 들 수 있습니다. 이 표현을 바탕으로 영화 [캣우먼]이 탄생하기도 했지요. 또 유명한 속담 중에 There is more than one way to skin a cat(목표를 이루는 데엔 여러 방법이 있다.)라는 말도 있습니다. 여기서 cat은 고양이가 아니라 catfish(메기)를 가리킨답니다. 메기 요리에서 가장 중요한 것은 껍질을 잘 벗기는 것이라는 공감대가 이런 표현을 만들어냈다고 하네요.
끝으로 텝스 시험에도 잘 나오는 표현 중에 let the cat out of the bag이란 말도 있습니다. 도대체 ‘고양이를 가방에서 꺼내다’라는 게 무슨 뜻일까요? ‘무심코 비밀을 누설하다.’라는 뜻이랍니다. 옛날에 시장에서 한 사기꾼이 자루 속에 살찐 고양이를 넣고, 돼지라고 거짓말을 해서 팔려고 했는데, 갑자기 고양이가 자루에서 튀어나와 사기 행각이 들통났다는 데서 유래된 표현이라고 합니다.
혹시 단어 외우는 게 어려우신가요? 아니면 아는 단어인데 문장 속에서 해석이 안 되시나요? 그럼 우리 주변부터 둘러보세요. 엄청난 표현들이 우리를 기다리고 있답니다.
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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재미난 수학세계
하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 두 점 사이의 거리
거리란 어떤 사물들이 서로 얼마나 떨어져 있는가를 수치로 나타낸 것이다. 한 점에서 다른 한 점으로 이동하는 데 움직인 경로 길이의 최솟값을 두 점 사이의 거리라고 약속하자. 두 점 사이의 거리를 구할 때 좌표를 이용하면 매우 편리하다.
1. 직교좌표에서 두 점 사이의 거리 - 피타고라스 정리 이용
좌표평면 위의 두 점 P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂)가 주어져 있을 때 삼각형 PQH가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 두 점 사이의 거리 d는 다음과 같다. 수식1 이와 같은 기하의 기본 개념이 때에 따라서 복잡해 보이는 대수 문제를 푸는 데 간단한 해결책이 되어주기도 한다. 다음 문제를 통해 연습해보자.
<문제>
문제 수식 1 의 최소값을 구하시오<해설> 주어진 식은 무리식일 뿐 아니라 변수도 2개나 되어 최솟값을 구하는 데 사용하는 일반적인 방법(예를 들어 미분)을 이용해 해결하기는 어렵다. 하지만 주어진 식의 의미를 기하학적으로 해석하면 아주 간단하게 해결된다. 즉 문제 해설 수식 점(x,y)에서 두 점 (1,2) (3,5)에 각각 이르는 거리로 해석하면 주어진 식은 점(x,y)에서 두 점(1,2) (3,5)에 이르는 거리의 합을 의미한다. 즉, 점(x,y)가 두 점(1,2) (3,5)을 잇는 선분 상에 있을 때 d₁+d₂는 최소가 된다. 즉 d₁+d₂의 최소값은 해설 수식 2 이다.
2. 바둑판 모양의 도로망 위에서 두 점 사이의 거리 - 택시 거리
그림과 같이 도로가 바둑판 모양으로 형성돼 있는 길을 따라 점 P에서 점 Q까지 택시를 타고 이동한다면 실제 움직인 거리 d는 수식 2 이다. 이와 같은 방법으로 정의되는 택시 거리는 유클리드 거리(위의 1번과 같은 정의)에 비해 얼핏 복잡해 보이지만 실제 생활에 쓰임새가 아주 많다. 예를 들어 소방서나 경찰서와 같은 공공기관은 관할구역 내에서 최단거리에 위치하도록 하는 게 좋으므로 도시를 계획할 때 이런 방법으로 거리를 계산해 위치를 정하는 것이 좋다. 내비게이션의 최단거리 산출도 이런 택시기하학에 뿌리를 두고 있다. 택시거리 개념을 이용해 중심이 원점이고 반지름이 3인 원을 그려보자.
반지름의 길이가 3이므로 택시평면 위에서 원은 ｜x｜+｜y｜= 3 만족시키는 점 (x,y)의 집합이다. 그림은 이 식을 만족시키는 점의 집합을 택시평면 위에 나타낸 것으로 택시원은 우리가 알고 있는 원이 아니고 두 대각선의 길이가 같은 마름모 모양의 정사각형이다.조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 고양이와 개에 관한 진실들…
비가 억수같이 내릴 때 It’s raining cats and dogs라는 표현을 쓰는데, 왜 하필이면 폭우를 ‘고양이와 개’에 비유했을까요? 여기에는 여러 가지 설이 있는데, 가장 유력한 후보 중 하나를 살펴보면, 19세기 초 영국 런던에 엄청난 폭우가 쏟아졌습니다. 그런데 이때 런던시의 대부분이 물에 잠겨 고양이와 개의 사체가 떠다녔다고 합니다. 그래서 이후에도 비가 엄청나게 내리는 모습을 표현할 때 cats and dogs라고 한답니다. 이처럼 우리 주위에서 친근하게 볼 수 있는 개와 고양이에 관한 표현은 정말 많답니다.
우선 개부터 살펴보면 식당에서 남은 음식을 포장해주는 것을 doggy bag이라고 합니다. 말 그대로 집에 있는 강아지에게 가져다주기 위해 음식을 포장해 달라는, 다소 실용적이면서도 또 체면치레(사실은 자신이 먹을 것이기 때문에)를 위한 표현입니다. 이제는 원래 의미와는 상관없이 남은 음식을 싸달라고 할 때 자연스럽게 “Can I have a doggy bag?”이라고 한답니다.
Underdog은 ‘패배자 혹은 낙오자’라는 뜻인데 반대말은 당연히 overdog, 또는 top dog이라고 합니다. 피구를 소재로 한 미국의 유명한 코미디 영화 [피구의 제왕(Dodgeball: A True Underdog Story)]도 있답니다. 또 주식시장에서 wag the dog이라는 표현도 많이 쓰는데 원래 The tail wags the dog(꼬리가 개를 흔든다/하극상)이라는 말에서 나온 표현이랍니다. wag the dog 역시 유명한 영화 제목이기도 한데, ‘더스틴 호프만’과 ‘로버트 드니로’의 열연이 빛나는 명작이니 기회가 되시면 꼭 보시기를 권합니다.
고양이와 관련된 표현 역시 참 많은데 대표적으로 A cat has nine lives(고양이는 목숨이 아홉 개다, 여간해서 죽지 않는다.)를 들 수 있습니다. 이 표현을 바탕으로 영화 [캣우먼]이 탄생하기도 했지요. 또 유명한 속담 중에 There is more than one way to skin a cat(목표를 이루는 데엔 여러 방법이 있다.)라는 말도 있습니다. 여기서 cat은 고양이가 아니라 catfish(메기)를 가리킨답니다. 메기 요리에서 가장 중요한 것은 껍질을 잘 벗기는 것이라는 공감대가 이런 표현을 만들어냈다고 하네요.
끝으로 텝스 시험에도 잘 나오는 표현 중에 let the cat out of the bag이란 말도 있습니다. 도대체 ‘고양이를 가방에서 꺼내다’라는 게 무슨 뜻일까요? ‘무심코 비밀을 누설하다.’라는 뜻이랍니다. 옛날에 시장에서 한 사기꾼이 자루 속에 살찐 고양이를 넣고, 돼지라고 거짓말을 해서 팔려고 했는데, 갑자기 고양이가 자루에서 튀어나와 사기 행각이 들통났다는 데서 유래된 표현이라고 합니다.
혹시 단어 외우는 게 어려우신가요? 아니면 아는 단어인데 문장 속에서 해석이 안 되시나요? 그럼 우리 주변부터 둘러보세요. 엄청난 표현들이 우리를 기다리고 있답니다. 배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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