하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 신비로운 '하노이 탑의 전설'
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
1883년 프랑스 수학자 루카스(E. Lucas)가 제시한 ‘하노이 탑 문제’를 생각해보자. 베트남 하노이시 외곽에 있는 베나레스에 아주 큰 사원이 있다. 이 사원에는 다이아몬드 막대 세 개가 있다. 그중 한 막대에는 천지 창조 때 신이 구멍을 뚫은 64장의 순금으로 된 원판을 크기가 큰 것이 아래로 놓이도록 차례로 쌓아놓았다. 그리고 신은 승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 다음 규칙을 따라 원판을 다른 다이아몬드 막대로 모두 옮겨 놓도록 명령했다. (1)한 번에 한 개의 황금 원판만 옮긴다. (2)크기가 큰 황금 원판은 반드시 크기가 작은 황금 원판 아래쪽에 있어야 한다. 64개의 원판이 본래의 자리를 떠나 다른 한 막대로 모두 옮겨졌을 때 탑과 사원, 승려들은 모두 먼지가 되어 사라지면서 세상의 종말이 온다는 전설이 있다. 64개의 원판을 모두 옮기려면 어느 정도의 시간이 필요할까?
2개의 원판을 옮기는 데 필요한 이동 횟수는 오른쪽 위의 그림에서 알 수 있듯이 1+1+1=3(회)이다. 3개의 원판을 옮기기 위해서는 A에서 B로 작은 원판 2개를 옮기고 A에 남아 있는 제일 큰 원판 1개를 C로 옮긴 다음 다시 B에 있는 원판 2개를 다시 C로 옮기면 된다. 즉, 필요한 최소 이동 횟수는 3+1+3=7(회)이다. 마찬가지로 4개의 원판을 옮기기 위해서는 일단 작은 3개의 원판부터 옮겨야 하므로 필요한 최소 이동 횟수는 7+1+7=15(회)임을 알 수 있다.
이 같은 생각을 조금 더 일반화시켜 정리해보자. n개의 원판을 옮기는 데 필요한 최소 이동 횟수를 a(n)이라 할 때, n+1개의 원판을 옮기는 데 필요한 최소 이동 횟수 a(n+1)는 다음과 같이 생각할 수 있다. n+1개의 원판을 옮기려면 위쪽에 있는 n개의 원판을 모두 다른 막대로 옮긴 뒤에 맨 아래 원판을 빈 막대로 옮기고, 다시 그 위에 n개의 원판을 옮겨 놓으면 된다. 즉, n+1개의 원판을 이동하는 방법은 다음과 같다. (기둥의 순서를 A, B, C라 하자) ( A→B로 n개 이동) + ( A→C로 1개 이동 ) + ( B→C로 n개 이동) 따라서 n+1 개의 원판을 옮기는 데 필요한 이동 횟수와 n개의 원판을 옮기는 데 필요한 이동 횟수 사이에는 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있다.
an+1=an+1+an=2an+1 즉, 수열을 귀납적으로 정의하면, a1=1, an+1=2an+1. 위의 식의 양 변에 1을 더하여 정리하면 a1+1=2, an+1+1=2(an+1) 이므로 수열 a(n)+1은 첫째항이 2이고 공비가 2인 등비수열임을 알 수 있다. 즉, 일반항을 구하면 an+1=2·2n-1 이므로 an=2n-1,
an=2n-1 이다.
한 번 옮길 때 1초씩만 걸린다고 해도 전설과 같이 64개를 모두 옮기기 위해서는 대략 5833억년의 시간이 걸린다. 5833억년 뒤에 지구는 어떤 모습일까?
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - on the nose·wisdom tooth·on the tip of my tongue…얼굴에서도 영어 표현들이 술술~~
지난 연재에서 소개해드렸던 give one’s ears라는 표현 기억하시나요? 옛날 영국과 미국에서 범죄자의 귀를 자르는 데서 유래했다는데, pay through the nose로도 바꿔 쓸 수 있습니다. 이 표현 역시 옛날 바이킹이 세금을 내지 못하면 코를 자른 것에서 유래했다고 하니 아무리 생각해도 두 표현 다 정말 무시무시하다고밖에 생각할 수 없습니다.
코에 대한 표현으로 정각을 나타내는 on the nose를 들 수 있습니다. 원래 이 표현은 라디오나 TV에서 연출가가 방송 중에 소리를 내 지시할 수 없어 코에다 손을 대 방송이 정확히 진행되고 있음을 알려준 것에서 유래했다고 하네요. 비슷한 표현으로 on the dot도 있는데 on the dot이 주로 정확한 시간을 나타낼 때 쓰는 반면에 on the nose는 좀 더 다양하게 쓰일 수 있다는 차이가 있습니다.
코 아래 위치한 입은 대화와 음식 섭취의 역할을 맡고 있기 때문에 말과 음식에 관련된 표현이 많답니다. 우선 big mouth는 ‘말이 많은 사람, 혹은 입이 싼 사람’을 뜻하는 표현인데 아무래도 입이 크면 말이 많을 것이라는 생각에서 나온 표현이겠죠. 또 mouth is watering이라고 하면 ‘군침이 돈다’라는 뜻이 된답니다. 이런 표현을 보면 사람들의 생각은 크게 다르지 않다는 것을 느끼게 됩니다.
예전에 한 번 다룬 표현 중에 sweet tooth라는 표현도 있었습니다. ‘단 것을 좋아하는 사람’을 가리킨다는 것 기억하고 있죠? 그리고 wisdom tooth라는 표현도 있는데 이것은 우리말로 ‘사랑니’를 가리킨답니다. 우리는 사랑을 할 때쯤 이 치아가 생긴다고 해서 붙여진 이름인데, 서양 사람들은 wisdom tooth가 생길 때쯤 지혜로워진다고 생각한 것 같습니다.
끝으로 뭔가 생각이 잘 나지 않을 때 It’s on the tip of my tongue이라는 표현을 사용한답니다. 우리말로도 “아, 혀끝에서 맴도는데 도무지 떠오르지 않네”라고 말하잖아요. 반대로 ring a bell이라고 하면 ‘기억이 난다’라는 뜻이 됩니다. 그래서 The name does not ring a bell이라고 하면 ‘그 이름은 기억이 나지 않는다’라는 뜻이 되는 거죠. 혹시 외운 단어들이 잘 기억나지 않나요? 매일 매일 큰소리로 따라 읽어보세요. It’s on the tip of my tongue이 ring a bell로 바뀌는 기적을 체험할 수 있으니~^^*
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
1883년 프랑스 수학자 루카스(E. Lucas)가 제시한 ‘하노이 탑 문제’를 생각해보자. 베트남 하노이시 외곽에 있는 베나레스에 아주 큰 사원이 있다. 이 사원에는 다이아몬드 막대 세 개가 있다. 그중 한 막대에는 천지 창조 때 신이 구멍을 뚫은 64장의 순금으로 된 원판을 크기가 큰 것이 아래로 놓이도록 차례로 쌓아놓았다. 그리고 신은 승려들에게 밤낮으로 쉬지 않고 다음 규칙을 따라 원판을 다른 다이아몬드 막대로 모두 옮겨 놓도록 명령했다. (1)한 번에 한 개의 황금 원판만 옮긴다. (2)크기가 큰 황금 원판은 반드시 크기가 작은 황금 원판 아래쪽에 있어야 한다. 64개의 원판이 본래의 자리를 떠나 다른 한 막대로 모두 옮겨졌을 때 탑과 사원, 승려들은 모두 먼지가 되어 사라지면서 세상의 종말이 온다는 전설이 있다. 64개의 원판을 모두 옮기려면 어느 정도의 시간이 필요할까?
2개의 원판을 옮기는 데 필요한 이동 횟수는 오른쪽 위의 그림에서 알 수 있듯이 1+1+1=3(회)이다. 3개의 원판을 옮기기 위해서는 A에서 B로 작은 원판 2개를 옮기고 A에 남아 있는 제일 큰 원판 1개를 C로 옮긴 다음 다시 B에 있는 원판 2개를 다시 C로 옮기면 된다. 즉, 필요한 최소 이동 횟수는 3+1+3=7(회)이다. 마찬가지로 4개의 원판을 옮기기 위해서는 일단 작은 3개의 원판부터 옮겨야 하므로 필요한 최소 이동 횟수는 7+1+7=15(회)임을 알 수 있다.
이 같은 생각을 조금 더 일반화시켜 정리해보자. n개의 원판을 옮기는 데 필요한 최소 이동 횟수를 a(n)이라 할 때, n+1개의 원판을 옮기는 데 필요한 최소 이동 횟수 a(n+1)는 다음과 같이 생각할 수 있다. n+1개의 원판을 옮기려면 위쪽에 있는 n개의 원판을 모두 다른 막대로 옮긴 뒤에 맨 아래 원판을 빈 막대로 옮기고, 다시 그 위에 n개의 원판을 옮겨 놓으면 된다. 즉, n+1개의 원판을 이동하는 방법은 다음과 같다. (기둥의 순서를 A, B, C라 하자) ( A→B로 n개 이동) + ( A→C로 1개 이동 ) + ( B→C로 n개 이동) 따라서 n+1 개의 원판을 옮기는 데 필요한 이동 횟수와 n개의 원판을 옮기는 데 필요한 이동 횟수 사이에는 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있다.
an+1=an+1+an=2an+1 즉, 수열을 귀납적으로 정의하면, a1=1, an+1=2an+1. 위의 식의 양 변에 1을 더하여 정리하면 a1+1=2, an+1+1=2(an+1) 이므로 수열 a(n)+1은 첫째항이 2이고 공비가 2인 등비수열임을 알 수 있다. 즉, 일반항을 구하면 an+1=2·2n-1 이므로 an=2n-1,
an=2n-1 이다.한 번 옮길 때 1초씩만 걸린다고 해도 전설과 같이 64개를 모두 옮기기 위해서는 대략 5833억년의 시간이 걸린다. 5833억년 뒤에 지구는 어떤 모습일까?
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - on the nose·wisdom tooth·on the tip of my tongue…얼굴에서도 영어 표현들이 술술~~
지난 연재에서 소개해드렸던 give one’s ears라는 표현 기억하시나요? 옛날 영국과 미국에서 범죄자의 귀를 자르는 데서 유래했다는데, pay through the nose로도 바꿔 쓸 수 있습니다. 이 표현 역시 옛날 바이킹이 세금을 내지 못하면 코를 자른 것에서 유래했다고 하니 아무리 생각해도 두 표현 다 정말 무시무시하다고밖에 생각할 수 없습니다.
코에 대한 표현으로 정각을 나타내는 on the nose를 들 수 있습니다. 원래 이 표현은 라디오나 TV에서 연출가가 방송 중에 소리를 내 지시할 수 없어 코에다 손을 대 방송이 정확히 진행되고 있음을 알려준 것에서 유래했다고 하네요. 비슷한 표현으로 on the dot도 있는데 on the dot이 주로 정확한 시간을 나타낼 때 쓰는 반면에 on the nose는 좀 더 다양하게 쓰일 수 있다는 차이가 있습니다.
코 아래 위치한 입은 대화와 음식 섭취의 역할을 맡고 있기 때문에 말과 음식에 관련된 표현이 많답니다. 우선 big mouth는 ‘말이 많은 사람, 혹은 입이 싼 사람’을 뜻하는 표현인데 아무래도 입이 크면 말이 많을 것이라는 생각에서 나온 표현이겠죠. 또 mouth is watering이라고 하면 ‘군침이 돈다’라는 뜻이 된답니다. 이런 표현을 보면 사람들의 생각은 크게 다르지 않다는 것을 느끼게 됩니다.
예전에 한 번 다룬 표현 중에 sweet tooth라는 표현도 있었습니다. ‘단 것을 좋아하는 사람’을 가리킨다는 것 기억하고 있죠? 그리고 wisdom tooth라는 표현도 있는데 이것은 우리말로 ‘사랑니’를 가리킨답니다. 우리는 사랑을 할 때쯤 이 치아가 생긴다고 해서 붙여진 이름인데, 서양 사람들은 wisdom tooth가 생길 때쯤 지혜로워진다고 생각한 것 같습니다.
끝으로 뭔가 생각이 잘 나지 않을 때 It’s on the tip of my tongue이라는 표현을 사용한답니다. 우리말로도 “아, 혀끝에서 맴도는데 도무지 떠오르지 않네”라고 말하잖아요. 반대로 ring a bell이라고 하면 ‘기억이 난다’라는 뜻이 됩니다. 그래서 The name does not ring a bell이라고 하면 ‘그 이름은 기억이 나지 않는다’라는 뜻이 되는 거죠. 혹시 외운 단어들이 잘 기억나지 않나요? 매일 매일 큰소리로 따라 읽어보세요. It’s on the tip of my tongue이 ring a bell로 바뀌는 기적을 체험할 수 있으니~^^*
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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