서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 미분가능과 연속
함수 y=f(x)가 x=α에서 극한값과 함수값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때 x=α에서 함수 y=f(x)가 연속이라고 한다. 즉 수식1과 같으면 y=f(x)는 x=α에서 연속이다. 거꾸로 말하면 x=α에서 함수값 또는 극한값이 존재하지 않거나 두 값이 존재하더라도 일치하지 않으면 x=α에서 불연속이다. 고등학교 수준에서 연속성 문제를 해결하기 위해서는 x=α에서 좌극한과 우극한이 모두 함수값이 되는 것을 보여주면 된다.
또 함수 y=f(x)가 x=α에서 연속이면 α에 수렴하는 x의 수열에 대하여 수식2와 같이 수렴한다.
그럼 모든 실수에서 불연속인 함수가 있을까? 독일의 수학자 디리클레(Dirichlet)는 다음과 같은 함수(수식3)를 제시했다. x가 유리수 값만을 가지면서 x→α인 경우 f(x)→1이고 x가 무리수 값만을 가지면서 x→α인 경우 f(x)→0이므로 이 함수는 x=α에서 불연속이다. 이 함수를 다음 수식 4와 같이 표현할 수도 있다.
디리클레 이전에 함수는 두 변수 사이의 종속 관계를 나타내는 수학적 개념으로 여겨졌으나, 디리클레 함수의 등장으로 두 변수 사이의 대응이라는 추상적 개념으로 함수를 다루기 시작하게 됐고, 이후 엄밀한 함수의 정의를 바탕으로 해석학이라는 학문이 태어났다.
한편 함수 y=f(x)에 대하여 극한(수식5)이 존재하면 x=α에서 미분가능하다라고 한다. 그리고 이 값을 x=α에서 미분계수 f‘(α)라 한다. 미분가능성과 연속성 사이에는 어떤 관계가 있을까? 바로 ‘간.미.연’이다. 즉 간단히 말해 미분가능이면 연속이다. (기억하기 쉽죠?^^) 이는 다음의 극한 성질(수식6)을 이용해 간단히 증명할 수 있다.
이 정리의 대우를 생각해 보면 ‘연속이 아니면 미분불가능하다’이므로 x=α에서 연속이 아니면 미분계수가 존재하지 않는다. 그렇다면 연속인 함수는 항상 미분계수가 존재할까? 이정리의 역은 성립하지 않는다. 즉 연속이지만 미분불가능한 함수가 있다는 사실을 알 수 있다.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Snake in the grass…숨어 있는 위험 조심하세요
오늘 만나볼 주인공들은 12지신 중 5번째와 6번째에 해당하는 ‘용’과 ‘뱀’입니다.
우선 Dragon(용)은 동양에서뿐만 아니라, 서양에서도 신비의 동물로 여겨져 많은 소설과 영화에 등장한답니다. 대표적으로 [드래곤 길들이기(How to train your dragon)]란 영화는 미국과 우리나라를 비롯한 많은 나라에서 인기를 얻은 작품이기도 합니다. 저 역시 어릴 적에 ‘Peter, Paul and Mary’의 [Puff, the magic Dragon]이란 팝송을 참 좋아했었는데, 마법의 용 ‘Puff’와 꼬마 ‘Jackie’의 우정을 그린 정말 동화 같은 노래입니다. 그런데 나중에 커서 이 노래가 마약과 관련된 노래라는 이야기를 듣고 참 많이 놀란 적이 있습니다. puff가 ‘(담배, 대마초)를 피우다’라는 뜻도 있거든요.
다행히 원작자가 절대 그런 뜻이 아니며, 어린 시절에 흥미 있던 것들이 어른이 되어서는 점차 잊혀 간다는 내용을 그린 노래라고 해명하기도 했답니다. 하지만 chase the dragon이 ‘아편을 복용하다’라는 뜻도 있기 때문에 아무래도 논란을 피하기는 어려울 것 같으니, 조심해서 사용해야 할 것 같습니다.
용과는 달리 뱀은 아무래도 부정적인 표현이 많은데, 대표적으로 snake in the grass(눈에 보이지 않는 위험)를 들 수 있습니다. 생각해보면, 풀숲에 있 ?뱀만큼 위험한 것도 없잖아요. snake 외에도 뱀을 지칭하는 말로 viper, serpent 등을 사용하기도 하는데, viper는 주로 ‘독사’를 가리키고, serpent는 ‘큰 뱀’을 주로 지칭하는 단어랍니다.
그래서 영화 [킬빌]에서 암호명이 뱀의 이름으로 이루어진 조직의 이름이 deadly viper이며, [해리 포터]에서 ‘뱀을 소환하는 주문’이 세르펜소르티아(sepensortia)인 것입니다. 라틴어로 뱀이 serpens거든요.
참고로 별자리 중에서 뱀자리 역시 ‘Serpens’(the Serpent)라고 한다는 것도 기억해주세요. 아참, 밤에 피리 불면 안 됩니다~!!! 뱀 나와요~^^*
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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함수 y=f(x)가 x=α에서 극한값과 함수값이 모두 존재하고 그 값이 같을 때 x=α에서 함수 y=f(x)가 연속이라고 한다. 즉 수식1과 같으면 y=f(x)는 x=α에서 연속이다. 거꾸로 말하면 x=α에서 함수값 또는 극한값이 존재하지 않거나 두 값이 존재하더라도 일치하지 않으면 x=α에서 불연속이다. 고등학교 수준에서 연속성 문제를 해결하기 위해서는 x=α에서 좌극한과 우극한이 모두 함수값이 되는 것을 보여주면 된다.
또 함수 y=f(x)가 x=α에서 연속이면 α에 수렴하는 x의 수열에 대하여 수식2와 같이 수렴한다.
그럼 모든 실수에서 불연속인 함수가 있을까? 독일의 수학자 디리클레(Dirichlet)는 다음과 같은 함수(수식3)를 제시했다. x가 유리수 값만을 가지면서 x→α인 경우 f(x)→1이고 x가 무리수 값만을 가지면서 x→α인 경우 f(x)→0이므로 이 함수는 x=α에서 불연속이다. 이 함수를 다음 수식 4와 같이 표현할 수도 있다.디리클레 이전에 함수는 두 변수 사이의 종속 관계를 나타내는 수학적 개념으로 여겨졌으나, 디리클레 함수의 등장으로 두 변수 사이의 대응이라는 추상적 개념으로 함수를 다루기 시작하게 됐고, 이후 엄밀한 함수의 정의를 바탕으로 해석학이라는 학문이 태어났다.
한편 함수 y=f(x)에 대하여 극한(수식5)이 존재하면 x=α에서 미분가능하다라고 한다. 그리고 이 값을 x=α에서 미분계수 f‘(α)라 한다. 미분가능성과 연속성 사이에는 어떤 관계가 있을까? 바로 ‘간.미.연’이다. 즉 간단히 말해 미분가능이면 연속이다. (기억하기 쉽죠?^^) 이는 다음의 극한 성질(수식6)을 이용해 간단히 증명할 수 있다.
이 정리의 대우를 생각해 보면 ‘연속이 아니면 미분불가능하다’이므로 x=α에서 연속이 아니면 미분계수가 존재하지 않는다. 그렇다면 연속인 함수는 항상 미분계수가 존재할까? 이정리의 역은 성립하지 않는다. 즉 연속이지만 미분불가능한 함수가 있다는 사실을 알 수 있다.■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Snake in the grass…숨어 있는 위험 조심하세요
오늘 만나볼 주인공들은 12지신 중 5번째와 6번째에 해당하는 ‘용’과 ‘뱀’입니다.
우선 Dragon(용)은 동양에서뿐만 아니라, 서양에서도 신비의 동물로 여겨져 많은 소설과 영화에 등장한답니다. 대표적으로 [드래곤 길들이기(How to train your dragon)]란 영화는 미국과 우리나라를 비롯한 많은 나라에서 인기를 얻은 작품이기도 합니다. 저 역시 어릴 적에 ‘Peter, Paul and Mary’의 [Puff, the magic Dragon]이란 팝송을 참 좋아했었는데, 마법의 용 ‘Puff’와 꼬마 ‘Jackie’의 우정을 그린 정말 동화 같은 노래입니다. 그런데 나중에 커서 이 노래가 마약과 관련된 노래라는 이야기를 듣고 참 많이 놀란 적이 있습니다. puff가 ‘(담배, 대마초)를 피우다’라는 뜻도 있거든요.
다행히 원작자가 절대 그런 뜻이 아니며, 어린 시절에 흥미 있던 것들이 어른이 되어서는 점차 잊혀 간다는 내용을 그린 노래라고 해명하기도 했답니다. 하지만 chase the dragon이 ‘아편을 복용하다’라는 뜻도 있기 때문에 아무래도 논란을 피하기는 어려울 것 같으니, 조심해서 사용해야 할 것 같습니다.
용과는 달리 뱀은 아무래도 부정적인 표현이 많은데, 대표적으로 snake in the grass(눈에 보이지 않는 위험)를 들 수 있습니다. 생각해보면, 풀숲에 있 ?뱀만큼 위험한 것도 없잖아요. snake 외에도 뱀을 지칭하는 말로 viper, serpent 등을 사용하기도 하는데, viper는 주로 ‘독사’를 가리키고, serpent는 ‘큰 뱀’을 주로 지칭하는 단어랍니다.
그래서 영화 [킬빌]에서 암호명이 뱀의 이름으로 이루어진 조직의 이름이 deadly viper이며, [해리 포터]에서 ‘뱀을 소환하는 주문’이 세르펜소르티아(sepensortia)인 것입니다. 라틴어로 뱀이 serpens거든요.
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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