서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 데카르트의 사이클로이드 접선 작도하기
17세기에 등장한 사이클로이드 곡선은 당시 수학자들의 관심을 받으며 활발한 연구를 이끌었다.(464호, 3월23일자 참조) 메르센 소수로 잘 알려진 프랑스의 수학자 메르센은 페르마와 데카르트에게 사이클로이드의 넓이와 접선 작도에 관한 문제에 관한 편지를 보냈다. 페르마와 데카르트는 각각 접선 그리는 방법에 대해 답장을 보내 왔는데, 이번 회에서는 데카르트의 방법을 소개한다.
데카르트는 원의 접선 작도 방법을 ‘극한 개념’을 이용해 사이클로이드 접선 구하는 방법을 생각했다. 원 위의 한 점에서 이 원에 접하는 접선을 작도하려면 이 점과 중심을 지나는 직선과 수직이면서 이 점을 지나는 직선을 작도하면 된다.
그림 1에서 사다리꼴 ABCD를 굴렸을 때 꼭짓점 A가 그리는 곡선은 점 D(=D’)를 중심으로 하고 DA를 반지름으로 하는 원의 일부, 점 C’를 중심으로 하고 CA를 반지름으로 하는 원의 일부, 점 B’를 중심으로 하고 BA를 반지름으로 하는 원의 일부로 이루어진다. 곡선 위의 점 P에서 접선을 작도하려면 직선 PC’와 수직인 직선을 작도하면 된다.
데카르트는 위와 비슷한 방법으로 그림 2에서 사이클로이드 위의 점 B에서 접선을 작도할 수 있다고 하였다.
(1) 점 B에서 직선 AD에 평행선을 그어 원과 만나는 점 E를 작도한다.
(2) 점 B에서 직선 ED에 평행선을 그어 직선 AD와 만나는 점 F를 작도한다.
(3) 점 B를 지나고 직선 BF와 수직인 직선이 구하는 접선이다.
반지름의 길이를 r이라 하고, A를 원점으로 하고 직선 AD를 x축으로 하는 좌표평면에서 사이클로이드는 원이 회전한 각 θ를 매개화하여 x=r(θ-sinθ), y=r(1-cosθ)와 같이 나타낼 수 있다. 미적분학에서 이 곡선 위의 점에서 접선의 기울기는 수식 1로 계산한다. 거의 400년 전 데카르트가 제안한 접선은 엄밀한 증명은 없었지만, 지금 우리가 배우는 접선과 일치한다. 천재들의 사고는 정말 놀랍다.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - ASAP·BTW·OMW…뭔 말인지 이해가 가시나
예전에 한 학생이 ‘버카충’이라는 단어를 쓰길래, 벌레 이름인가? 라고 생각했는데, ‘버스 카드 충전’의 줄임말이라는 사실을 알고 놀랐던 적이 있습니다.
‘무한도전’을 ‘무도’라고 하거나, ‘응답하라 1994’를 ‘응사’라고 하는 것처럼, 이런 예는 TV에서도 흔히 찾아볼 수 있습니다. 그래서 오늘은 영어의 줄임말에 대해 알아보도록 하겠습니다.
우선 너무나 유명하고 심지어는 영어 교과서에서도 만날 수 있는 ASAP는 ‘as soon as possible(가능한 빨리)’의 줄임말입니다. 제가 고등학교 때만 해도 엄청 신기한 표현이었는데, 벌써 줄임말의 대표 격이 됐네요. 이와 함께 BTW, ‘by the way(그런데)’ 역시 채팅이나 문자 메시지에서 흔히 볼 수 있는 표현입니다.
‘가십걸(Gossip Girl)’이란 미드는 10대들이 주인공인 드라마라 정말 많은 영어 줄임 표현이 나오는데, OMG ‘oh my god(맙소사)’, NVM ‘never mind(신경 쓰지마)’, LOL ‘laugh out loud(크게 웃다)’, TTYL ‘talk to you later(나중에 얘기하자)’, BRB ‘be right back(곧 돌아올게)’, OMW ‘on my way(가는 중)’, FYI ‘for your information(참고로)’, RIP ‘rest in peace(고인의 명복을 빌다)’ 등등 정말 셀 수 없을 정도로 많은 표현을 만나볼 수 있답니다.
심지어 매회 마지막 장면은, XOXO gossip girl 이란 표현으로 끝을 맺는데, 여기서 X는 kiss를 O는 hug를 나타내는 말이므로, ‘hugs and kisses’란 뜻입니다. 원래 편지 말미에 많이 쓰던 표현이었는데, ‘가십걸’ 덕분에 새로운(?) 유행어로 다시 자리매김 했지요.
요즘 DIY ‘do it yourself(직접 해봐)’라는 표현을 많이 들을 수 있는데, 가정용품 등의 제작을 직접 하는 것의 의미랍니다. 또 AKA가 쓰여진 티셔츠도 많이 볼 수 있는데, ‘also known as(~로 알려진)’이란 뜻으로 ‘일명 누구누구’라고 이해하시면 됩니다.
P2P 사이트에서 P2P는 ‘person to person(개인 대 개인)’의 줄임말이고, 121은 ‘one to one’의 약자로 ‘1 대 1’이란 뜻입니다. 기초 과정이나 입문 과정을 나타낼 때, 101이란 표현도 많이 쓰는데, 그래서 영화 ‘건축학개론’의 영어 제목이 ‘Architecture 101’이 된 것입니다. (음... 이 칼럼은 어휘로 배우는 영미 문화 이야기 101입니다~^^*)
■ 배시원 선생님
배 첼?선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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17세기에 등장한 사이클로이드 곡선은 당시 수학자들의 관심을 받으며 활발한 연구를 이끌었다.(464호, 3월23일자 참조) 메르센 소수로 잘 알려진 프랑스의 수학자 메르센은 페르마와 데카르트에게 사이클로이드의 넓이와 접선 작도에 관한 문제에 관한 편지를 보냈다. 페르마와 데카르트는 각각 접선 그리는 방법에 대해 답장을 보내 왔는데, 이번 회에서는 데카르트의 방법을 소개한다.데카르트는 원의 접선 작도 방법을 ‘극한 개념’을 이용해 사이클로이드 접선 구하는 방법을 생각했다. 원 위의 한 점에서 이 원에 접하는 접선을 작도하려면 이 점과 중심을 지나는 직선과 수직이면서 이 점을 지나는 직선을 작도하면 된다.
그림 1에서 사다리꼴 ABCD를 굴렸을 때 꼭짓점 A가 그리는 곡선은 점 D(=D’)를 중심으로 하고 DA를 반지름으로 하는 원의 일부, 점 C’를 중심으로 하고 CA를 반지름으로 하는 원의 일부, 점 B’를 중심으로 하고 BA를 반지름으로 하는 원의 일부로 이루어진다. 곡선 위의 점 P에서 접선을 작도하려면 직선 PC’와 수직인 직선을 작도하면 된다.데카르트는 위와 비슷한 방법으로 그림 2에서 사이클로이드 위의 점 B에서 접선을 작도할 수 있다고 하였다.
(1) 점 B에서 직선 AD에 평행선을 그어 원과 만나는 점 E를 작도한다.(2) 점 B에서 직선 ED에 평행선을 그어 직선 AD와 만나는 점 F를 작도한다.
(3) 점 B를 지나고 직선 BF와 수직인 직선이 구하는 접선이다.
반지름의 길이를 r이라 하고, A를 원점으로 하고 직선 AD를 x축으로 하는 좌표평면에서 사이클로이드는 원이 회전한 각 θ를 매개화하여 x=r(θ-sinθ), y=r(1-cosθ)와 같이 나타낼 수 있다. 미적분학에서 이 곡선 위의 점에서 접선의 기울기는 수식 1로 계산한다. 거의 400년 전 데카르트가 제안한 접선은 엄밀한 증명은 없었지만, 지금 우리가 배우는 접선과 일치한다. 천재들의 사고는 정말 놀랍다.
■김국인 선생님김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - ASAP·BTW·OMW…뭔 말인지 이해가 가시나
예전에 한 학생이 ‘버카충’이라는 단어를 쓰길래, 벌레 이름인가? 라고 생각했는데, ‘버스 카드 충전’의 줄임말이라는 사실을 알고 놀랐던 적이 있습니다.
‘무한도전’을 ‘무도’라고 하거나, ‘응답하라 1994’를 ‘응사’라고 하는 것처럼, 이런 예는 TV에서도 흔히 찾아볼 수 있습니다. 그래서 오늘은 영어의 줄임말에 대해 알아보도록 하겠습니다.
우선 너무나 유명하고 심지어는 영어 교과서에서도 만날 수 있는 ASAP는 ‘as soon as possible(가능한 빨리)’의 줄임말입니다. 제가 고등학교 때만 해도 엄청 신기한 표현이었는데, 벌써 줄임말의 대표 격이 됐네요. 이와 함께 BTW, ‘by the way(그런데)’ 역시 채팅이나 문자 메시지에서 흔히 볼 수 있는 표현입니다.
‘가십걸(Gossip Girl)’이란 미드는 10대들이 주인공인 드라마라 정말 많은 영어 줄임 표현이 나오는데, OMG ‘oh my god(맙소사)’, NVM ‘never mind(신경 쓰지마)’, LOL ‘laugh out loud(크게 웃다)’, TTYL ‘talk to you later(나중에 얘기하자)’, BRB ‘be right back(곧 돌아올게)’, OMW ‘on my way(가는 중)’, FYI ‘for your information(참고로)’, RIP ‘rest in peace(고인의 명복을 빌다)’ 등등 정말 셀 수 없을 정도로 많은 표현을 만나볼 수 있답니다.
심지어 매회 마지막 장면은, XOXO gossip girl 이란 표현으로 끝을 맺는데, 여기서 X는 kiss를 O는 hug를 나타내는 말이므로, ‘hugs and kisses’란 뜻입니다. 원래 편지 말미에 많이 쓰던 표현이었는데, ‘가십걸’ 덕분에 새로운(?) 유행어로 다시 자리매김 했지요.
요즘 DIY ‘do it yourself(직접 해봐)’라는 표현을 많이 들을 수 있는데, 가정용품 등의 제작을 직접 하는 것의 의미랍니다. 또 AKA가 쓰여진 티셔츠도 많이 볼 수 있는데, ‘also known as(~로 알려진)’이란 뜻으로 ‘일명 누구누구’라고 이해하시면 됩니다.
P2P 사이트에서 P2P는 ‘person to person(개인 대 개인)’의 줄임말이고, 121은 ‘one to one’의 약자로 ‘1 대 1’이란 뜻입니다. 기초 과정이나 입문 과정을 나타낼 때, 101이란 표현도 많이 쓰는데, 그래서 영화 ‘건축학개론’의 영어 제목이 ‘Architecture 101’이 된 것입니다. (음... 이 칼럼은 어휘로 배우는 영미 문화 이야기 101입니다~^^*)
배 첼?선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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