서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - ‘기하학의 헬레네’…사이클로이드 곡선
지난 호(464호, 469호)에서 사이클로이드 곡선이 만드는 넓이와 접선에 대해 알아 보았다. 고등학교 교과서에도 미분과 적분을 배우고 접선의 기울기, 넓이, 곡선의 길이, 회전체의 부피 등의 연습문제로 사이클로이드 곡선이 끝판왕으로 등장한다.
17세기 수학자들은 이 사이클로이드 곡선을 트로이 전쟁을 야기한 헬레네의 아름다움에 빗대어 ‘기하학의 헬레네’라 부르기도 했다. 파스칼은 “이 곡선의 성질을 연구하면서 치통의 고통도 참을 수 있다”고 말하기도 했다.
1696년 요한 베르누이는 당시 수학자들에게 ‘브라키스토크론(brachistochrone) 문제’를 제시했다. 그리스어로 ‘brachisto’는 짧음을, ‘kronos’는 시간을 의미하니까 브라키스토크론 곡선은 최단강하곡선이라 부르기도 한다. [그림]에서 마찰력이 없는 구슬이 중력의 힘만으로 점 O를 출발해 B까지 가장 빨리 도달할 수 있는 곡선은 어떤 모양일까?
O와 B 사이의 최단거리가 직선이므로 직선 경로를 따르는 것이 브라키스토크론 문제의 답이라고 생각하기 쉽지만, 실제로는 사이클로이드 곡선을 따라 내려가는 것이 가장 빠르다. 사이클로이드 위의 각 지점에서 중력가속도가 줄어드는 정도가 가장 작기 때문에 직선이나 어떤 경로보다도 가장 빠르다. 이 문제를 제시한 베르누이 형제는 서로 다른 방법으로 이 문제를 해결했는데 후일 아이디어 도용 문제로 다툼의 원인이 되기도 했다. 이후 뉴턴, 라이프니츠, 로피탈 등이 풀이에 성공했다고 전해지는데 다른 수학자들이 몇 달 걸려서 고민한 이 문제를 뉴턴은 하루 만에 풀었다.
독수리가 먹이를 향해 낙하할 때에도 사이클로이드와 가까운 곡선을 그리며 목표물로 날아간다. 스케이트 보드나 스노 보드 하프파이프 경기장도 사이클로이드 곡선 모양으로 만들어져 있으니, 놀이터의 미끄럼틀도 직선 모양이 아니라 사이클로이드 모양으로 만들면 훨씬 더 속도감을 즐길 수 있을 것이다. 때론 돌아가는 것이 질러가는 것보다 빠를 수도 있는 법이다.
출발점이 달라서 고민하는 그대, 사이클로이드 위에서라면 출발점이 다르더라도, 갈 길이 멀어 보이더라도, 동시에 출발만 한다면 목표점(B)에 도달할 수 있다. 힘을 내자!
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Mono·bi·uni…어원 알면 단어 뜻이 보여요
저는 겁쟁이라 놀이기구 타는 것을 참 무서워한답니다. 그래서 놀이동산에 가서도 유일하게 타는 것은 바로 모노레일(monorail). 그런데 어떤 단어 앞에 mono가 붙으면 다 ‘하나’라는 의미를 가지게 됩니다.
그래서 ‘단조로움’을 monotone이라고 합니다. 생각해 보세요. tone(음색, 색조)이 mono(하나)이니, 당연히 다채로운 것이랑은 거리가 멀겠지요. 같은 이유로 ‘독백’ 역시 monologue라고 한답니다.
화학 시간에 [CO]라고 배운 ‘일산화탄소’는 carbon monoxide라고 합니다. oxide가 ‘산화물’, 즉 산소와 결합된 물질을 말하거든요. 따라서 [CO2], ‘이산화탄소’는 carbon dioxide가 되는 것이지요. mono가 ‘하나’를 가리키는 말이라면, di는 ‘두 개’를 가리키는 말이거든요. 그래서 어느 쪽도 고를 수 없는 진퇴양난의 상황을 dilemma라고 한답니다.
mono 외에도 uni라는 단어 역시 ‘하나’를 나타날 때, 쓰는 말입니다. 그래서 ‘제복’을 uniform이라고 하고, ‘일각수’라고도 번역되는 뿔이 하나 달린 상상의 동물을 unicorn이라고 하는 것이지요. 또 ‘외발 자전거’ 역시 unicycle이라고 한답니다. 두 바퀴를 가진 ‘자전거’가 바로 bicycle이기 때문이지요. 네, bi 역시 ‘둘’이란 뜻을 가지고 있습니다. 하지만, 놀랍게도 biannual은 ‘2년에 한 번’이란 뜻이 아닙니다. ‘1년에 두 번’이란 뜻으로 semiannual의 동의어지요. semi가 ‘반’이란 뜻이라 결승전이 final이면 준결승은 semifinal이라고 하거든요. 또 half-yearly로 바꿔 써도 됩니다.
그런데, bi에 ‘둘’이라는 뜻이 있다는 이유만으로, 혹은 사전에서 biannual을 찾으면 ‘(드물게) 2년에 한 번’이란 뜻도 있다는 이유로, 이 단어를 함부로 쓰면 안 됩니다. ‘2년에 한 번’이란 뜻을 가진 단어로 biennial이란 단어가 있거든요. 이 단어가 어려운 단어 같지만, 우리가 2년에 한 번씩 열리는 축제를 비엔날레(biennale)라고 하잖아요. 그럼 이제 3년에 한 번씩 열리는 축제를 triennale라고 하는 것도 이해되시지요? tripod가 ‘삼각대’, trident가 ‘삼지창’인 것처럼 tri란 단어는 ‘3’이란 뜻을 가지고 있거든요.
사실 오늘 제가 이 글을 쓴 이유는 바로 biannual이란 단어 때문입니다. 우리가 어원을 통해 단어를 이해하는 것도 참 좋지만, 결국 이 단어가 문장 속에서 어떻게 쓰이는지 모르면 아무 소용 없다는 사실 절대 잊으시면 앙돼용~!!!^^*
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장 ?맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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지난 호(464호, 469호)에서 사이클로이드 곡선이 만드는 넓이와 접선에 대해 알아 보았다. 고등학교 교과서에도 미분과 적분을 배우고 접선의 기울기, 넓이, 곡선의 길이, 회전체의 부피 등의 연습문제로 사이클로이드 곡선이 끝판왕으로 등장한다.17세기 수학자들은 이 사이클로이드 곡선을 트로이 전쟁을 야기한 헬레네의 아름다움에 빗대어 ‘기하학의 헬레네’라 부르기도 했다. 파스칼은 “이 곡선의 성질을 연구하면서 치통의 고통도 참을 수 있다”고 말하기도 했다.
1696년 요한 베르누이는 당시 수학자들에게 ‘브라키스토크론(brachistochrone) 문제’를 제시했다. 그리스어로 ‘brachisto’는 짧음을, ‘kronos’는 시간을 의미하니까 브라키스토크론 곡선은 최단강하곡선이라 부르기도 한다. [그림]에서 마찰력이 없는 구슬이 중력의 힘만으로 점 O를 출발해 B까지 가장 빨리 도달할 수 있는 곡선은 어떤 모양일까?
O와 B 사이의 최단거리가 직선이므로 직선 경로를 따르는 것이 브라키스토크론 문제의 답이라고 생각하기 쉽지만, 실제로는 사이클로이드 곡선을 따라 내려가는 것이 가장 빠르다. 사이클로이드 위의 각 지점에서 중력가속도가 줄어드는 정도가 가장 작기 때문에 직선이나 어떤 경로보다도 가장 빠르다. 이 문제를 제시한 베르누이 형제는 서로 다른 방법으로 이 문제를 해결했는데 후일 아이디어 도용 문제로 다툼의 원인이 되기도 했다. 이후 뉴턴, 라이프니츠, 로피탈 등이 풀이에 성공했다고 전해지는데 다른 수학자들이 몇 달 걸려서 고민한 이 문제를 뉴턴은 하루 만에 풀었다.독수리가 먹이를 향해 낙하할 때에도 사이클로이드와 가까운 곡선을 그리며 목표물로 날아간다. 스케이트 보드나 스노 보드 하프파이프 경기장도 사이클로이드 곡선 모양으로 만들어져 있으니, 놀이터의 미끄럼틀도 직선 모양이 아니라 사이클로이드 모양으로 만들면 훨씬 더 속도감을 즐길 수 있을 것이다. 때론 돌아가는 것이 질러가는 것보다 빠를 수도 있는 법이다.
출발점이 달라서 고민하는 그대, 사이클로이드 위에서라면 출발점이 다르더라도, 갈 길이 멀어 보이더라도, 동시에 출발만 한다면 목표점(B)에 도달할 수 있다. 힘을 내자!
■김국인 선생님김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 교육대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Mono·bi·uni…어원 알면 단어 뜻이 보여요
저는 겁쟁이라 놀이기구 타는 것을 참 무서워한답니다. 그래서 놀이동산에 가서도 유일하게 타는 것은 바로 모노레일(monorail). 그런데 어떤 단어 앞에 mono가 붙으면 다 ‘하나’라는 의미를 가지게 됩니다.그래서 ‘단조로움’을 monotone이라고 합니다. 생각해 보세요. tone(음색, 색조)이 mono(하나)이니, 당연히 다채로운 것이랑은 거리가 멀겠지요. 같은 이유로 ‘독백’ 역시 monologue라고 한답니다.
화학 시간에 [CO]라고 배운 ‘일산화탄소’는 carbon monoxide라고 합니다. oxide가 ‘산화물’, 즉 산소와 결합된 물질을 말하거든요. 따라서 [CO2], ‘이산화탄소’는 carbon dioxide가 되는 것이지요. mono가 ‘하나’를 가리키는 말이라면, di는 ‘두 개’를 가리키는 말이거든요. 그래서 어느 쪽도 고를 수 없는 진퇴양난의 상황을 dilemma라고 한답니다.
mono 외에도 uni라는 단어 역시 ‘하나’를 나타날 때, 쓰는 말입니다. 그래서 ‘제복’을 uniform이라고 하고, ‘일각수’라고도 번역되는 뿔이 하나 달린 상상의 동물을 unicorn이라고 하는 것이지요. 또 ‘외발 자전거’ 역시 unicycle이라고 한답니다. 두 바퀴를 가진 ‘자전거’가 바로 bicycle이기 때문이지요. 네, bi 역시 ‘둘’이란 뜻을 가지고 있습니다. 하지만, 놀랍게도 biannual은 ‘2년에 한 번’이란 뜻이 아닙니다. ‘1년에 두 번’이란 뜻으로 semiannual의 동의어지요. semi가 ‘반’이란 뜻이라 결승전이 final이면 준결승은 semifinal이라고 하거든요. 또 half-yearly로 바꿔 써도 됩니다.
그런데, bi에 ‘둘’이라는 뜻이 있다는 이유만으로, 혹은 사전에서 biannual을 찾으면 ‘(드물게) 2년에 한 번’이란 뜻도 있다는 이유로, 이 단어를 함부로 쓰면 안 됩니다. ‘2년에 한 번’이란 뜻을 가진 단어로 biennial이란 단어가 있거든요. 이 단어가 어려운 단어 같지만, 우리가 2년에 한 번씩 열리는 축제를 비엔날레(biennale)라고 하잖아요. 그럼 이제 3년에 한 번씩 열리는 축제를 triennale라고 하는 것도 이해되시지요? tripod가 ‘삼각대’, trident가 ‘삼지창’인 것처럼 tri란 단어는 ‘3’이란 뜻을 가지고 있거든요.
사실 오늘 제가 이 글을 쓴 이유는 바로 biannual이란 단어 때문입니다. 우리가 어원을 통해 단어를 이해하는 것도 참 좋지만, 결국 이 단어가 문장 속에서 어떻게 쓰이는지 모르면 아무 소용 없다는 사실 절대 잊으시면 앙돼용~!!!^^*
■ 배시원 선생님배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장 ?맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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