서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 두개의 원으로 그리는 하트 모양 곡선
반지름이 같은 두 원이 있는데, 그 중 한 원을 다른 원 주위로 굴릴 때 원 위의 한 점의 자취는 <그림1>과 같이 하트 모양의 곡선이 된다. 수학자들은 이 곡선을 cardioid라 부르는데, 그리스어로 ‘심장 모양’이라는 뜻이다. (번역을 염통 곡선이라고 한다.)
원의 반지름의 길이가 α일 때, 이 곡선은 <수식1>과 같이 매개화하여 나타낼 수 있고, 직교좌표계에서는 t를 소거하여 <수식2>와 같이 나타낼 수 있다. 원을 직선 위를 굴릴 때, 원 위의 한 점의 자취를 사이클로이드라 하고 원을 다른 원의 내부[외부]에서 굴릴 때 원 위의 한 점의 자취를 하이퍼사이클로이드[에피사이클로이드]라고 한다. 염통 곡선은 에피사이클로이드의 하나인데, 두 원의 반지름의 비에 따라 뾰족한 정점(cups)의 개수가 결정된다.
염통곡선은 두 원의 반지름 길이가 같으므로 정점이 하나인 에피사이클로이드이다. 염통 곡선에 대해 알려진 여러 가지 성질을 살펴보면 다음과 같다.
① 염통 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 원의 넓이의 6배, 즉 6πα²이다. (적분을 통해 <수식3>과 같이 쉽게(!) 구할 수 있다.)
② 염통 곡선의 길이는 반지름의 16배, 즉 16α이다. 역시 적분을 이용하여 <수식4>와 같이 구할 수 있다.
③ 염통 곡선위의 한 점에서의 접선은 정점과 접점을 이은 직선과 서로 수직이다.
④ 임의의 기울기에 대하여 그 기울기를 갖는 접선이 3개 존재하고, 각각의 접점을 정점과 이으면 세 선분이 이루는 각은 120º가 된다.
염통 곡선을 이용하여 다음과 같이 하트를 만들 수 있다. 한 원의 원주 위에 점을 찍고 그 중 한 점을 고정한 다음 다른 점을 지름으로 하는 원을 계속 그리면 <그림2>와 그 원으로 둘러싸인 부분이 염통곡선 모양의 하트가 된다. 또 <수식1>의 방정식을 수정하여 <그림3>과 같이 하트 모양을 만들 수도 있다. 이번 한 주 자신만의 심장 곡선을 한 번 그려보자!
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 각자 음식을 가져와 즐기는 파티 ‘BYOB’
요즘 baby shower란 단어를 여러 매체에서 볼 수 있w는데, ‘아기 목욕’이란 뜻이 아닌, ‘임신한 것을 축하하기 위해 친구들이 아기 용품을 선물하는 축하 파티’라는 의미로 쓰인 것이랍니다. 또 bridal shower는 ‘여자 친구들이 결혼 직전의 여성에게 줄 선물을 갖고 모이는 축하 파티’를 뜻하는 말이랍니다.
원래 shower는 ‘소나기’를 뜻하는 단어지만, baby shower나 bridal shower처럼 미국에서는 party의 의미로 쓰이기도 한답니다. 그럼 오늘을 신나는 party라는 단어에 대해 알아보도록 하겠습니다.
우선 party의 종류에는, 우리도 잘 아는 ‘깜짝 파티’라는 뜻의 surprise party, ‘집들이’ 개념의 housewarming party, 그리고 ‘고별 파티’를 뜻하는 farewell party 등이 있습니다. 참고로 ‘환영 행사’는 주로 party를 생략하고 reception이라고만 한답니다.
미드나 영화에서 slumber party라는 표현도 들을 수 있는데, slumber이 ‘잠’을 뜻하는 단어이기 때문에, 보통 10대 소녀들이 친구 집에 모여 밤새워 노는 것을 뜻하는 말입니다. pajama party라고 해도 같은 뜻이 되지요. 또 potluck party(dinner)라는 표현도 있는데, 각자 음식을 가져와 함께 즐기는 파티를 뜻한답니다. ‘pot(냄비)에 luck(행운)를 담는다’는 의미에서 유래되었다고 하는데, 같은 의미로 BYOB(bring your own booze)라고 하면 각자 마실 술(음료)은 각자 지참해서 오라는 말입니다. 마지막에 B는 bottle, beverage, beer 등 다양하게 응용이 가능합니다.
그런데 ‘party를 연다’라는 표현은 영어로 throw a party라고 합니다. 우리말로 ‘연다’라고 해서 절대 open을 쓰시면 안 됩니다. 또 party는 ‘단체’라는 뜻이 있어 search party라고 하면 ‘수색대’라는 의미이고, 미국의 [공화당]을 Republican Party, [민주당]을 Democratic Party라고 하는 것처럼 정당이란 뜻도 있습니다. 심지어 ‘관계자’ ‘연루자’라는 뜻도 있어 the guilty party라고 하면 ‘가해자’라는 뜻이니 절대 party라는 단어를 가볍게 보시면 안됩니다.
끝으로 ‘파티의 흥을 깨는 사람’을 wet blanket이라고 하는데, 열기를 없애는데 ‘젖은 담요’만큼 좋은 것도 없겠지요.
다들 아시겠지만, ‘생일 파티’는 birthday party라고 합니다. 원고를 쓰는 날이 제 생일이어서 이 주제를 고른 것은 절대 아닙니다...^^; ㅎㅎㅎ
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
2015 대한민국 모바일트레이딩시스템(MTS) 평가대상...종합대상 'NH투자증권'
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반지름이 같은 두 원이 있는데, 그 중 한 원을 다른 원 주위로 굴릴 때 원 위의 한 점의 자취는 <그림1>과 같이 하트 모양의 곡선이 된다. 수학자들은 이 곡선을 cardioid라 부르는데, 그리스어로 ‘심장 모양’이라는 뜻이다. (번역을 염통 곡선이라고 한다.)
원의 반지름의 길이가 α일 때, 이 곡선은 <수식1>과 같이 매개화하여 나타낼 수 있고, 직교좌표계에서는 t를 소거하여 <수식2>와 같이 나타낼 수 있다. 원을 직선 위를 굴릴 때, 원 위의 한 점의 자취를 사이클로이드라 하고 원을 다른 원의 내부[외부]에서 굴릴 때 원 위의 한 점의 자취를 하이퍼사이클로이드[에피사이클로이드]라고 한다. 염통 곡선은 에피사이클로이드의 하나인데, 두 원의 반지름의 비에 따라 뾰족한 정점(cups)의 개수가 결정된다.
염통곡선은 두 원의 반지름 길이가 같으므로 정점이 하나인 에피사이클로이드이다. 염통 곡선에 대해 알려진 여러 가지 성질을 살펴보면 다음과 같다.
① 염통 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 원의 넓이의 6배, 즉 6πα²이다. (적분을 통해 <수식3>과 같이 쉽게(!) 구할 수 있다.)
② 염통 곡선의 길이는 반지름의 16배, 즉 16α이다. 역시 적분을 이용하여 <수식4>와 같이 구할 수 있다.
③ 염통 곡선위의 한 점에서의 접선은 정점과 접점을 이은 직선과 서로 수직이다.
④ 임의의 기울기에 대하여 그 기울기를 갖는 접선이 3개 존재하고, 각각의 접점을 정점과 이으면 세 선분이 이루는 각은 120º가 된다.
염통 곡선을 이용하여 다음과 같이 하트를 만들 수 있다. 한 원의 원주 위에 점을 찍고 그 중 한 점을 고정한 다음 다른 점을 지름으로 하는 원을 계속 그리면 <그림2>와 그 원으로 둘러싸인 부분이 염통곡선 모양의 하트가 된다. 또 <수식1>의 방정식을 수정하여 <그림3>과 같이 하트 모양을 만들 수도 있다. 이번 한 주 자신만의 심장 곡선을 한 번 그려보자!
■김국인 선생님김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 현재 전국연합 모의고사 출제위원으로 활동하고 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - 각자 음식을 가져와 즐기는 파티 ‘BYOB’
요즘 baby shower란 단어를 여러 매체에서 볼 수 있w는데, ‘아기 목욕’이란 뜻이 아닌, ‘임신한 것을 축하하기 위해 친구들이 아기 용품을 선물하는 축하 파티’라는 의미로 쓰인 것이랍니다. 또 bridal shower는 ‘여자 친구들이 결혼 직전의 여성에게 줄 선물을 갖고 모이는 축하 파티’를 뜻하는 말이랍니다.원래 shower는 ‘소나기’를 뜻하는 단어지만, baby shower나 bridal shower처럼 미국에서는 party의 의미로 쓰이기도 한답니다. 그럼 오늘을 신나는 party라는 단어에 대해 알아보도록 하겠습니다.
우선 party의 종류에는, 우리도 잘 아는 ‘깜짝 파티’라는 뜻의 surprise party, ‘집들이’ 개념의 housewarming party, 그리고 ‘고별 파티’를 뜻하는 farewell party 등이 있습니다. 참고로 ‘환영 행사’는 주로 party를 생략하고 reception이라고만 한답니다.
미드나 영화에서 slumber party라는 표현도 들을 수 있는데, slumber이 ‘잠’을 뜻하는 단어이기 때문에, 보통 10대 소녀들이 친구 집에 모여 밤새워 노는 것을 뜻하는 말입니다. pajama party라고 해도 같은 뜻이 되지요. 또 potluck party(dinner)라는 표현도 있는데, 각자 음식을 가져와 함께 즐기는 파티를 뜻한답니다. ‘pot(냄비)에 luck(행운)를 담는다’는 의미에서 유래되었다고 하는데, 같은 의미로 BYOB(bring your own booze)라고 하면 각자 마실 술(음료)은 각자 지참해서 오라는 말입니다. 마지막에 B는 bottle, beverage, beer 등 다양하게 응용이 가능합니다.
그런데 ‘party를 연다’라는 표현은 영어로 throw a party라고 합니다. 우리말로 ‘연다’라고 해서 절대 open을 쓰시면 안 됩니다. 또 party는 ‘단체’라는 뜻이 있어 search party라고 하면 ‘수색대’라는 의미이고, 미국의 [공화당]을 Republican Party, [민주당]을 Democratic Party라고 하는 것처럼 정당이란 뜻도 있습니다. 심지어 ‘관계자’ ‘연루자’라는 뜻도 있어 the guilty party라고 하면 ‘가해자’라는 뜻이니 절대 party라는 단어를 가볍게 보시면 안됩니다.
끝으로 ‘파티의 흥을 깨는 사람’을 wet blanket이라고 하는데, 열기를 없애는데 ‘젖은 담요’만큼 좋은 것도 없겠지요.
다들 아시겠지만, ‘생일 파티’는 birthday party라고 합니다. 원고를 쓰는 날이 제 생일이어서 이 주제를 고른 것은 절대 아닙니다...^^; ㅎㅎㅎ
■ 배시원 선생님배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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