서울과학고 김국인 쌤의 재미난 수학세계 - 원적 문제(圓積問題)
원적문제란 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도할 수 있을까 하는 문제로, 배적문제, 삼등분각 문제와 함께 3대 작도불가능 문제 중 하나이다. 고대 이집트 사람들은 [그림1]과 같이 반지름의 길이가 1인 원의 넓이 π는 한 변의 길이가 16/9인 정사각형의 넓이과 근사적으로 같다라는 사실을 알고 있었다. 실용적인 지식을 중시하는 이집트인들은 근삿값을 구하는 것으로 만족했지만, 이성적인 태도를 중시하는 그리스인들은 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 원적문제를 해결하기를 원했다.
먼저 삼각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도해 보자. [그림2]
① 삼각형 ABC이 주어져 있을 때 밑변 BC의 연장선 위에 높이 AD의 절반과 같은 길이의 선분 CE를 작도한다.
② 선분 BF를 지름의 양끝점으로 하는 원을 작도한다.
③ 점 C를 지나고 직선 BF에 수직인 직선과 원의 교점 G를 작도한다.
④ CG를 한 변으로 하는 정사각형 CGHI의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이와 같다.
[그림3]과 같이 평행선의 성질을 이용하여 오각형 ABCDE와 넓이가 같은 삼각형 AXY를 작도할 수 있다. 비슷한 방법으로 임의의 다각형과 넓이가 같은 삼각형을 작도할 수 있고, 삼각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있으므로 원적문제는 원의 넓이와 넓이가 같은 다각형을 작도할 수 있는가 하는 문제로 대체할 수 있다. 그리스 수학자 안티폰(Antiphon, BC 480~411)은 이러한 생각을 가지고 원적문제를 해결하려고 다음과 같이 시도하였다. [그림4]
① 먼저 원에 내접하는 정사각형을 작도한다.
② 정사각형의 각변을 밑변으로 하고, 원주 상에 꼭짓점을 갖는 이등변삼각형을 작도하여 원에 내접하는 정팔각형을 작도한다. [그림4]
③ ②의 과정을 반복하면 정2^n각형을 작도할 수 있다. n이 증가하면 점점 원의 넓이와 같아지게 된다.
하지만 이 방법은 유한 번의 단계에서는 원의 넓이와 근사적으로 같지만 정확히 같은 것은 아니므로 원적문제를 해결했다고 할 수는 없다. 1882년 독일의 수학자 폰 린데만(Lindermann, 1852-1939)가 원주율 π가 초월수임을 증명하여 원적문제는 작도불가능한 문제임을 밝히기 전까지 원적문제는 수많은 수학자들이 도전하고 좌절하게 만들었다.
■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - call shotgun
모 여행사 광고에서, tour는 ‘관광’을 뜻하지만, travel은 ‘여행’을 뜻한다는 문구를 본 적이 있습니다. 사실 그보다는 travel은 동사로도 ‘여행을 가다’라는 뜻이지만, trip이 동사로 쓰이면 ‘~에 걸려 넘어지다’의 뜻이 있다는 사실을 아는 것이 더 중요할지도 모릅니다.
그래서 ‘여행을 가다’라고 할 때는 make a trip이란 표현을 쓰거든요. 물론 아주 드물게 trip을 ‘여행하다’의 뜻으로 쓰기도 하지만 오히려 ‘실수하다’ 혹은 ‘말을 더듬다’의 뜻도 있어서 trip over an English word라고 하면 ‘영어 단어를 잘못 발음하다’라는 뜻이 된답니다.
미국 드라마나 영화에서 자동차를 탈 때, call shotgun이라고 외치는 장면이 나올 때가 있습니다. 운전석 옆자리, 즉 조수석에 앉고 싶을 때 외치는 표현인데, 왜 하필이면 shotgun(산탄총/엽총)이란 단어를 쓸까요? 미국 서부개척 시대에는 역마차가 중요한 대중교통 수단이었는데, 그 당시에 이런 마차들을 노리는 도적떼가 많았다고 합니다. 그래서 말을 모는 마부 옆자리에 엽총(shotgun)을 든 사람이 탔다고 하네요. 이런 이유로 운전자의 옆자리에 앉는 것을 call 혹은 ride shotgun이라고 한답니다.
요즘 자동차 유리창에 baby on board(아기가 타고 있어요)란 표현을 자주 볼 수 있는데, ‘판자’를 뜻하는 board라는 단어가 ‘배나 비행기에 탑승하다’라는 뜻이 있거든요. 그래서 비행기 탑승권을 boarding pass라고 하잖아요? 그런데 이 board라는 단어 절대 만만히 볼 단어가 아닙니다. 놀랍게도 ‘위원회’라는 뜻이 있어 board of directors라고 하면 ‘이사회’라는 표현이 됩니다. 토익이나 텝스에서 심심찮게 볼 수 있는 단어지요.
심지어는 board에 ‘(식사를 제공하는) 하숙’이라는 뜻도 있어서 boarding school은 ‘기숙학교’라는 표현입니다. board의 사촌 격인 aboard라는 단어도 ‘배나 비행기에 타고 있는(on board)’이라는 뜻으로 자주 쓰이는 표현입니다. 가끔 abroad(해외)라는 단어와 혼동하는 학생들이 있는데, 꼭 스펠링에 주의해주세요~!!!
끝으로 신입 직원과 같은 새로운 사람을 환영할 때 welcome aboard라는 표현을 쓰는데, 원래는 배나 비행기에 승선한 것을 환영한다는 뜻이랍니다. 만약 비행기에서 이 표현을 들었다면, ‘저희 비행기를 이용해주셔서 감사합니다’ 정도의 뜻으로 이해하시면 되겠습니다. 어쨌든 [배시원쌤의 신나는 영어 여행]에 참여하신 모든 분 환영합니다. Welcome Aboard~^^*.
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학 ㎏?받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 고려대 등 대학과 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원에서 토익·토플을 강의했다.
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원적문제란 주어진 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형을 작도할 수 있을까 하는 문제로, 배적문제, 삼등분각 문제와 함께 3대 작도불가능 문제 중 하나이다. 고대 이집트 사람들은 [그림1]과 같이 반지름의 길이가 1인 원의 넓이 π는 한 변의 길이가 16/9인 정사각형의 넓이과 근사적으로 같다라는 사실을 알고 있었다. 실용적인 지식을 중시하는 이집트인들은 근삿값을 구하는 것으로 만족했지만, 이성적인 태도를 중시하는 그리스인들은 눈금없는 자와 컴퍼스만으로 원적문제를 해결하기를 원했다.
먼저 삼각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도해 보자. [그림2]
① 삼각형 ABC이 주어져 있을 때 밑변 BC의 연장선 위에 높이 AD의 절반과 같은 길이의 선분 CE를 작도한다.
② 선분 BF를 지름의 양끝점으로 하는 원을 작도한다.
③ 점 C를 지나고 직선 BF에 수직인 직선과 원의 교점 G를 작도한다.
④ CG를 한 변으로 하는 정사각형 CGHI의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이와 같다.
[그림3]과 같이 평행선의 성질을 이용하여 오각형 ABCDE와 넓이가 같은 삼각형 AXY를 작도할 수 있다. 비슷한 방법으로 임의의 다각형과 넓이가 같은 삼각형을 작도할 수 있고, 삼각형과 넓이가 같은 정사각형을 작도할 수 있으므로 원적문제는 원의 넓이와 넓이가 같은 다각형을 작도할 수 있는가 하는 문제로 대체할 수 있다. 그리스 수학자 안티폰(Antiphon, BC 480~411)은 이러한 생각을 가지고 원적문제를 해결하려고 다음과 같이 시도하였다. [그림4]
① 먼저 원에 내접하는 정사각형을 작도한다.
② 정사각형의 각변을 밑변으로 하고, 원주 상에 꼭짓점을 갖는 이등변삼각형을 작도하여 원에 내접하는 정팔각형을 작도한다. [그림4]
③ ②의 과정을 반복하면 정2^n각형을 작도할 수 있다. n이 증가하면 점점 원의 넓이와 같아지게 된다.
하지만 이 방법은 유한 번의 단계에서는 원의 넓이와 근사적으로 같지만 정확히 같은 것은 아니므로 원적문제를 해결했다고 할 수는 없다. 1882년 독일의 수학자 폰 린데만(Lindermann, 1852-1939)가 원주율 π가 초월수임을 증명하여 원적문제는 작도불가능한 문제임을 밝히기 전까지 원적문제는 수많은 수학자들이 도전하고 좌절하게 만들었다.■김국인 선생님
김국인 선생님은 현재 서울과학고등학교에 근무하신다. 서울대에서 수학교육을 전공하였으며 서울대 대학원에서 수학교육으로 석사학위를 받았다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - call shotgun
모 여행사 광고에서, tour는 ‘관광’을 뜻하지만, travel은 ‘여행’을 뜻한다는 문구를 본 적이 있습니다. 사실 그보다는 travel은 동사로도 ‘여행을 가다’라는 뜻이지만, trip이 동사로 쓰이면 ‘~에 걸려 넘어지다’의 뜻이 있다는 사실을 아는 것이 더 중요할지도 모릅니다.
그래서 ‘여행을 가다’라고 할 때는 make a trip이란 표현을 쓰거든요. 물론 아주 드물게 trip을 ‘여행하다’의 뜻으로 쓰기도 하지만 오히려 ‘실수하다’ 혹은 ‘말을 더듬다’의 뜻도 있어서 trip over an English word라고 하면 ‘영어 단어를 잘못 발음하다’라는 뜻이 된답니다.
미국 드라마나 영화에서 자동차를 탈 때, call shotgun이라고 외치는 장면이 나올 때가 있습니다. 운전석 옆자리, 즉 조수석에 앉고 싶을 때 외치는 표현인데, 왜 하필이면 shotgun(산탄총/엽총)이란 단어를 쓸까요? 미국 서부개척 시대에는 역마차가 중요한 대중교통 수단이었는데, 그 당시에 이런 마차들을 노리는 도적떼가 많았다고 합니다. 그래서 말을 모는 마부 옆자리에 엽총(shotgun)을 든 사람이 탔다고 하네요. 이런 이유로 운전자의 옆자리에 앉는 것을 call 혹은 ride shotgun이라고 한답니다.
요즘 자동차 유리창에 baby on board(아기가 타고 있어요)란 표현을 자주 볼 수 있는데, ‘판자’를 뜻하는 board라는 단어가 ‘배나 비행기에 탑승하다’라는 뜻이 있거든요. 그래서 비행기 탑승권을 boarding pass라고 하잖아요? 그런데 이 board라는 단어 절대 만만히 볼 단어가 아닙니다. 놀랍게도 ‘위원회’라는 뜻이 있어 board of directors라고 하면 ‘이사회’라는 표현이 됩니다. 토익이나 텝스에서 심심찮게 볼 수 있는 단어지요.
심지어는 board에 ‘(식사를 제공하는) 하숙’이라는 뜻도 있어서 boarding school은 ‘기숙학교’라는 표현입니다. board의 사촌 격인 aboard라는 단어도 ‘배나 비행기에 타고 있는(on board)’이라는 뜻으로 자주 쓰이는 표현입니다. 가끔 abroad(해외)라는 단어와 혼동하는 학생들이 있는데, 꼭 스펠링에 주의해주세요~!!!
■ 배시원 선생님
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학 ㎏?받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 고려대 등 대학과 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원에서 토익·토플을 강의했다.
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